Re: [obm-l] Problema para Artur

[Carlos Yuzo Shine <cyshine@xxxxxxxxx>]

Oi gente,

Que tal considerar a função f:R+ -> R+, f(x) = x^x?
Esta função é contínua, logo existe um valor de x tal
que x^x = 2004, por exemplo. Não é difícil ver que
esse x é irracional. x não pode ser algébrico pois x^x
seria transcendente. Logo x é transcendente e x^x =
2004 é algébrico.

[]'s
Shine

--- Cláudio_(Prática)
<claudio@praticacorretora.com.br> wrote:
> Oi, Bruno:
> 
> Existe um teorema (provado por Gelfond e Schneider)
> que diz que se a e b são algébricos, com a <> 0, a
> <> 1 e b irracional, então a^b é transcendente. Uma
> demonstração disso está contida nas notas de aula
> que eu recomendei pro Artur numa mensagem anterior.
> 
> Por outro lado, não conheço nenhum resultado geral
> sobre a natureza de a^b quando a e b são
> transcendentes (o que não quer dizer absolutamente
> nada - um tal resultado pode muito bem existir! Você
> conhece algum?).
> 
> Um argumento de cardinalidade mostra que x^x deve
> assumir pelo menos um valor transcendente para algum
> x transcendente. 
> Considere a partição do intervalo [1,+inf) = A U T,
> onde A = conjunto dos algébricos no intervalo e T =
> conjunto dos transcendentes no intervalo.
> Seja F: [1,+inf) --> [1,+inf) dada por F(x) = x^x. F
> é claramente uma bijeção.
> Como A é enumerável, F(A) é enumerável.
> Se F(T) só contém números algébricos, então F(T)
> também é enumerável.
> Logo, (1,+inf] = F((1,+inf]) = F(A U T) = F(A) U
> F(T) é enumerável ==> 
> contradição ==>
> F(T) deve conter algum transcendente (de fato, uma
> infinidade não-enumerável deles).
> 
> A questão que permanece é: existe algum
> transcendente x tal que x^x é algébrico?
> 
> O caso x = raiz(2) não parece ajudar muito, pois
> raiz(2) é algébrico. 
> De qualquer forma, o teorema de Gelfond-Schneider
> com a = b = raiz(2) mostra que raiz(2)^raiz(2) é
> transcendente.
> 
> Um abraço,
> Claudio.
>   ----- Original Message ----- 
>   From: Bruno Lima 
>   To: OBM lISTA 
>   Sent: Thursday, February 12, 2004 1:49 PM
>   Subject: [obm-l] Problema para Artur
> 
> 
>   Agora que vc esta pensando sobre numeros
> algebricos e transcendentes uma  questao
> interessante é a seguinte: seja x transcendente,
> entao x elevado a x é algebrico ou transcendente??
>   pense primeiro no caso x= raiz qudrada de 2.
> 


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