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[obm-l] Re: [obm-l] Diga-me se isso é correto.



Caro Carlos,
 
Primeiramente, comentarei a sua resolução e, depois, apresentarei a minha.
Você acerta nas "deduções", mas erra nas justificativas.
 
Definições: seja k um número inteiro, por definição, 2k é par e 2k+1 é ímpar.
 
Conseqüência imediata: no conjunto dos inteiros (Z), os números pares e os números ímpares alternam-se, pois, entre dois ímpares, há um par e, analogamente, entre dois pares, há um ímpar.
 
Demonstrações:
 
Um número par subtraído de outro par resultará em par, pois:
se p e q são inteiros, então 2p - 2q = 2(p-q) que, de acordo com a definição, é par.
 
De forma análoga, um número par subtraído de outro ímpar resultará em ímpar, pois:
se m e n são inteiros, então 2m - (2n+1) = 2m - 2n -1 = 2(m-n) - 1 que, segundo a definição, é ímpar.
 
O erro que observei é atribuir às imagens da função exponencial de base 2 o caráter par, visto que esta é definida de |R --> |R. Logo, haverá imagens que não pertencerão ao conjunto dos ínteiros, por exemplo: 2^(1/2), que é irracional. Somos levados a uma variação da célebre: "Todo número par é uma imagem da função exponencial de base 2, mas nem toda imagem desta função será par."
 
Ainda assim, o seu raciocínio é válido. Cuidado com as definições tão somente.
 
Eis, no entanto, a minha resolução:
 
2^x - 2^y = 24     (I)
x + y = 8 <=> y = 8 - x    (II)
 
 
Fazendo (II) em (I), vem:  2^x - 2^(8-x) = 24 <=> 2^x - (2^8 / 2^x) = 24 <=> (2^x)^2 - 24*2^x - 2^8 = 0, que é uma equação quadrática em 2^x. Para simplificar, toma-se w = 2^x. Logo,
 
 
w^2 - 24w - 2^8 = 0
 
Discriminante = (-24)^2 - 4*1*(-2^8) = 2^6*3^2 + 2^6*2^4 = 2^6(9+16) = 2^6*5^2
 
w = [24 +- sqrt(2^6*5^2)]/2 => w = 32 ou w = -8
 
Assim:  2^x = 32 <=> x = 5   ou   2^x = -8 (não convém)
 
 
Em (II):  y = 8 - x = 8 - 5 = 3
 
Logo, o conjunto verdade V = {(5;3)}.
 
 
Espero ter podido ajudar.
 
 
Um forte abraço,
 
Rafael de A. Sampaio
 
 
 
----- Original Message -----
Sent: Thursday, January 29, 2004 9:31 AM
Subject: [obm-l] Diga-me se isso é correto.

Diante desse exercicio, ao qual mencionarei abaixo, queria saber se a maneira a qual eu resolvi é correta?
Resolva o seguinte sistema:

2^x - 2^y = 24 ( I )
x + y = 8 ( II )

Resolvi dessa maneira:
Peguei a primeira equação...

2^x - 2^y = 2^3.3
2^(x-3) - 2^(y-3) = 3

Eu analisando essa equação deduzi, que a subtração de nºs par com nºs par sempre sera par.
Logo tenho uma subtração na qual o resultado é 3 entao eu teria que ter um nº par menos um nº ímpar:
Como 2^x tal que x>0 sempre sera par. Logo a unica maneira de eu obter um numero impar é fazendo 2^0 = 1

logo...
deduzir que 4 - 1 = 3
entao: 2^(x-3) = 4  e 2^(y-3) = 1
logo
x = 5, e y = 3

Essa maneira é correta de se resolver??
Qual outra maneira na qual eu possa estar resolvendo?

Desde já agradeço a todos.