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Caro Levi,
O enunciado nos dá a liberdade de supor a =
b, visto que não foi especificado que se tratam de inteiros distintos. Assim, o
termo independente (a^3 - b^3) torna-se nulo e x = 0 é solução.
Entretanto, creio que o teorema das raízes
racionais seja adequado a este problema. De acordo com o
teorema, se p é um divisor do termo independente e q é um divisor do termo
que possui a variável de maior expoente, p/q é uma possível raiz racional da
equação, com p e q primos entre si. Para a equação dada, teríamos q = 1 ou q
= -1 (1 e -1 são os divisores do coeficiente de x^3). Dessa forma, em vez de raízes racionais,
ficaríamos com raízes em Z, como diz o enunciado. Teríamos para p os
divisores de (a^3 - b^3), admitindo que a e b sejam inteiros positivos
distintos e a > b > 0, pois, ainda de acordo com o enunciado, são inteiros
positivos, e não "não negativos", o que
permitiria a interpretação de a ou b ser(em) zero.
O desenvolvimento literal requer um
considerável trabalho algébrico, mas como a pergunta é se há ou não solução em
Z, tomemos um exemplo:
Se a = 2 e b = 1, então x^3+3x^2+9x+7=0.
Pelo teorema citado, as possíveis raízes racionais são +1, -1, +7, -7. Por
verificação, -1 é raiz da equação.
Já para a = 3 e b = 2, teríamos
x^3+3x^2+15x+19=0. Novamente, conforme o teorema das raízes racionais, as
possíveis raízes seriam +1, -1, +19, -19. Fazendo todas as verificações, nenhuma
delas é raiz. E, de fato, tal equação possui uma raiz irracional e duas não
reais, se a desenvolvermos por Tartaglia, por exemplo.
E que quero dizer com esses exemplos?
Que podemos afirmar que existe x inteiro para a equação dada, sendo a e b
inteiros (positivos e distintos) específicos. Isto é, não existe x
inteiro para QUAISQUER a e b inteiros (positivos e distintos). Determinar a lei que definiria quais são
esses "inteiros específicos" seria desenvolver literalmente o
problema, conforme comentei no início, o que foge à pergunta ao meu
ver.
Espero ter podido ajudar.
Um forte abraço,
Rafael de A. Sampaio
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