Re: [obm-l] alg-lin

[Felipe Pina <pinaf@xxxxxxxxxxxx>]

> Eu tenho uma duvida conceitual. A definicao de autovalor que o Fabio 
> parece
> estar usando acima eh a de raiz do polinomio caracteristico do operador
> correspondente. Mas e se tivermos um operador sobre R^n cujo polinomio
> caracteristico tem apenas raizes complexas?
> Por exemplo, o operador T:R^2 -> R^2 definido por T(x,y) = (x+y,-x+y) tem
> como polinomio caracteristico x^2 - 2x + 2, cujas raizes sao 1+i e 1-i.
> 1+i serah autovalor desse operador se existir algum vetor nao nulo (a,b) 
> de
> R^2 tal que T(a,b) = (1+i)*(a,b), mas isso eh claramente impossivel. 
> Entao
> eh correto dizer que T nao tem autovalores? Ou devemos dizer que os
> autovalores de T nao estao associados a nenhum autovetor?
>
> Um abraco,
> Claudio.

    Oi Claudio,

    Se você considera R^2 como espaço vetorial sobre R, T não tem 
autovalores. Como você mesmo observou, x^2 - 2x + 2 não possui raízes 
reais. O único problema é que você roubou ao olhar para o conjunto dos 
complexos... Autovalores são elementos do corpo que você associou ao 
espaço vetorial.Tá vendo, quem mandou você escolher um corpo ruim!!! Se 
você não escolheu um corpo K algebricamente fechado, claramente terá 
problemas ao considerar as transformações lineares de K^n em K^n ( K^n 
E.V. sobre K ). Dizer que os autovalores de T não estão associados a 
nenhum autovetor não faz sentido.

    V espaço vetorial sobre o corpo K.
    T : V -> V linear

    Caso exista x em K tal que ( T - xI ) seja não-injetora, dizemos que x 
é autovalor de T.
Sabemos que ( T - xI ) é não-injetora <=> existe um vetor v não-nulo tal 
que ( T - xI )v = 0. Daí v é dito autovetor associado a x. Este <=>, na 
verdade, é herdado lá dos grupos...

    G grupo, f : G -> G homomorfismo.
    Então f é injetora <=> ker(f) é trivial (somente o elemento identidade)

Eu sei que você já sabe tudo isso, mas acredito que será útil para alguém !

-- 
[]s
Felipe Pina

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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