Re: [obm-l] Fatorial <> Quadrado

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Oi, Ed:

 

Infelizmente, você só pode dizer que d(m*n) = d(m)*d(n) se m e n forem primos entre si, o que não é válido no caso de n! se n >= 4, pois mdc(4,2) = 2 (e de fato d(4!) = d(24) = 8, mas d(4)*d(3)*d(2)*d(1) = 3*2*2*1 = 12).

 

Mas valeu pela atenção ao problema.

 

Um abraço,

Claudio.

 

----- Original Message -----

From: Eduardo Azevedo

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Wednesday, September 17, 2003 3:05 PM

Subject: Re: [obm-l] Fatorial <> Quadrado

> Oi, pessoal:
>
> Alguem conhece alguma demonstracao de que nenhum fatorial > 1 eh quadrado
> perfeito que nao use o postulado de Bertrand?

É só a gente ver que os quadrados são os números que tem uma quantidade ímpar de divisores. Afinal, os divisores de n vem em pares n e n/d. A única exceção é, se existir, raiz de n.

 

Agora, se chamarmos de d(n) o número de divisores de n temos

 

d(n!) = d(n)*d(n-1)*...d(2)*d(1), que é par pois d(2) é par. Então n! não pode ser quadrado.

 

 

abrc

 

-ed