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Ficaram faltando estas três:
3) O produto das distâncias de um ponto qualquer de
uma hipérbole de equação
(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 às suas
assíntotas é ?
Assíntotas:
1) ay - bx =
0
2) ay + bx = 0.
Seja o ponto P = (r,s) pertencente à
hipérbole.
A distancia de P até a assíntota 1 é (fórmula da
distância de ponto a reta):
| as - br |/raiz(a^2+b^2)
A distancia de P até a assíntota 2
é:
| as + br |/raiz(a^2+b^2)
Portanto, Produto = |a^2s^2 -
b^2r^2|/(a^2+b^2)
Mas P pertence à hipérbole. Logo:
r^2/a^2 - s^2/b^2 = 1 ==>
b^2r^2 - a^2s^2 = a^2b^2 ==>
|a^2s^2 - b^2r^2| = a^2b^2 ==>
Produto = a^2b^2/(a^2+b^2) =
constante.
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7) Considerando um sistema linear de 10 equações e
10 incógnitas, o número de multiplicações e divisões necessárias para resolvê-lo pela regra de Cramer é igual a ?
Serão calculados 11 determinantes 10x10 e depois
serão necessarias 10 divisões (uma pra cada variável).
Cada determinante tem 10! termos e cada termo
envolve o produto de 10 numeros ==>
cada determinante envolve 10*10! multiplicações
==>
o numero total de multiplicações será 11*10*10! =
10*11!
Assim, serão efetuadas 10*11! multiplicações e 11
divisões.
Moral da história: use eliminação
gaussiana.
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9) A matriz da transformação que passa xy = 1 para
a forma canônica (x^2) / 2 + (y^2)/2 = 1 é ?
xy = 1 é equação de uma hipérbole equilátera tendo
os eixos coordenados como assíntotas, com semi-eixos medindo raiz(2) e focos
sobre a reta y = x;
x^2/2 + y^2/2 = 1 é equação de uma circunferência
de raio raiz(2) centrada na origem.
Assim, não existe nenhuma transformação linear que
faça esta passagem.
Por outro lado, se a segunda equação fosse x^2/2 -
y^2/2 = 1, ela representaria uma hipérbole equilátera cujas assíntotas são as
retas y = x e y = -x, com semi-eixos medindo raiz(2) e focos sobre o
eixo-x.
Nesse caso, a transformação seria uma rotação de
-pi/4 (ou 7pi/4) em torno da origem.
Matriz = | cos(-pi/4)
sen(-pi/4) | = (1/raiz(2)) * | 1 -1 |
| -sen(-pi/4) cos(-pi/4)
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| -1 1 |
Um abraço,
Claudio.
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