[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida sobre grupos diedrais

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Caro Eduardo:

Demonstrar associatividade normalmente é um saco.

No caso de D(2n), a melhor forma é obter uma representação (ou seja, uma
instância "concreta") do grupo como uma série de operações no plano
complexo.

Por exemplo, dado um número complexo z qualquer, você pode definir duas
funções, "a" e "b" de C em C (C = conjunto dos números complexos) tais que:
a(z) = exp(2*Pi/n)*z
e
b(z) = conjugado(z)

Ou seja, "a" efetua uma rotação de z de um ângulo igual a 2*Pi/n em torno da
origem no sentido anti-horário, e "b" efetua a reflexão de z no eixo real.

Assim, teríamos: a^k(z) = exp(2*k*Pi/n)*z = a(a^(k-1)(z)) para todo k
inteiro.

Logo:
1) ab(z) = a(b(z)) = a(conjugado(z)) = exp(2*Pi/n)*conjugado(z)

2) ba^(n-1)(z) = b(a^(n-1)(z)) = b(exp(2*(n-1)*Pi/n)*z) = b(exp(-2*Pi/n)*z)
=
= conjugado(exp(-2*Pi/n)*z) = conjugado(exp(-2*Pi/n))*conjugado(z) =
= exp(2*Pi/n)*conjugado(z)

Ou seja, ab(z) = ba^(n-1)(z) para todo z complexo.

Logo, ab = ba^(n-1)

As outras propriedades que definem D(2n) são provadas de forma análoga (por
exemplo, o elemento neutro seria a rotação de um ângulo igual a zero,
etc...)

Qual a vantagem disso tudo? A associatividade em D(2n) passa a ser uma
consequencia da associatividade da composição de funções.

Espero que tenha ficado claro.

Um abraço,
Claudio.

----- Original Message -----
From: "Eduardo Botelho" <matematika@terra.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Saturday, April 19, 2003 7:43 PM
Subject: [obm-l] Dúvida sobre grupos diedrais


> Olá pessoal da lista.
>     Estive lendo o Higino Domingues para meu curso de Álgebra e não
> consigo acreditar no que diz o livro. Vejamos:  ele me diz que um grupo
> diedral, como o proprio nome já diz, é um grupo.
>    Mas vale a associativa?
>  Se ´a´ é tomado para especificar rotação e ' b' para refletir em torno
> de um eixo, 'e' é tal que b^2 = e,  e D(2n) = {e,
> a,a^2,...,a^(n-1),b,...,ba^(n-1)} é o conjunto em questão, vale (a^2 a)b
> = a^2(ab), por exemplo  ?
>      Veja só a contradição(pelo menos pra mim) :
>   Ele mostra que ab = ba^(n-1). Jóia.
>    Aí dá o exemplo D6: (para ficar claro, vou vou associar cada vértice
> do triângulo a um ângulo imaginário a partir de seu centro):
> e:     1(0),2(120),3(240)
> a:     1(120),2(240), 3(0)
> a^2: 1(240),2(0),3(120)  até aqui, jóia.
> prosseguindo...
> b:     1(0),2(240),3(120)
> b^2: 1(240),2(120),3(0)
> b^3: 1(120),2(0),3(240)   ..ou seja, as rotações são horárias. Nesse
> caso, não valeria ab = ba^(n-1)
>
> Qualquer ajuda agradeço
>
> Abraço
> Eduardo
>
>
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