[obm-l] Re: [obm-l] Trigonometria e Sequências

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

----- Original Message -----
From: "Igor GomeZZ" <igor.gomezz@gmx.net>
To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Friday, April 11, 2003 1:38 AM
Subject: [obm-l] Trigonometria e Sequências


>
>     Fala galera da lista, boa noite... São dois problemas, um OBM e o
outro
> não sei a fonte:
>
> **Sequência:
>
> 1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 +...+47*48 + 48*49 + 49*50
>
> Se não me engano ela eh OBM, certo? Consegui resolvê-la como uma
> Progressão Aritmética de segunda ordem. Para achar o polinômio
> que gera os termos t(n) eh relativamente demorado, jah para achar o
> polinômio que define a soma s(n) eh ainda mais demorado. Tem alguma coisa
> na cara que facilite a questão e não estou vendo?
>
>
S = 1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 +...+47*48 + 48*49 + 49*50

Voce pode dividir a soma por 2 e obter:
S/2 = C(2,2) + C(3,2) + ... + C(50,2)
onde C(m,p) = numero de subconjuntos de p elementos de um conjunto com m
elementos.

Ai, usando uma propriedade do Triangulo de Pascal, chegar a conclusao de
que:
S/2 = C(51,3)  ==> S = 2*C(51,3) = 2*51*50*49/6 = 41.650

***************

> ** Trigonometria:
>
> cosa * cos2a * cos4a * cos8a * ... * cos[(2^(n-1))a] , ou seja,
>
> Produtório(cos((2^(n-1)a, n=1..(n-1))
>
Use a relação: senx * cosx = (1/2) * sen2x

Assim:
P = cosa * cos2a * cos4a * cos8a * ... * cos[(2^(n-1))a]
sena * P = sena * cosa * cos2a * cos4a * cos8a * ... * cos[(2^(n-1))a]  ==>
sena * P = (1/2) sen2a * cos2a * cos4a * cos8a * ... * cos[(2^(n-1))a]  ==>
sena * P = (1/4) * sen4a * cos4a * cos8a * ... * cos[(2^(n-1))a]  ==>
...
sena * P = (1/2^(n-1)) * sen[(2^(n-1))a] * cos[(2^(n-1))a] ==>
sena * P = (1/2^n) * sen[ (2^n)a ] ==>
P = sen[(2^n)a]/[ (2^n) * sena ]

Um abraco,
Claudio.

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