RES: [obm-l] pequena duvida sobre matrizez

["Mario Salvatierra Junior" <otita@xxxxxxxxxxxxxx>]

A sua demonstracao está correta e é a forma mais simples de se provar
este fato.
Vamos provar o seguinte: Sejam A e B matrizes NxN e P=AB.
1) Suponha que A é invertível e B é não-invertível. Então P é
não-invertível.
2) Suponha que B é invertível e A é não-invertível. Então P é
não-invertível.

Demonstração:
1) Como B é não invertível , existe um vetor x diferente de 0 em R^N,
tal que Bx=0. Assim Px=ABx=A0=0. Logo P é não invertivel.
2) Como A é não invertível, existe y diferente de 0 tal  que Ay=0. Como
B é invertivel existe x tal que Bx=y e alem disso x é diferente de 0.
Assim Px=ABx=Ay=0. Logo P é não invertivel.
c.q.d
 
Usamos acima o fato de q uma matriz A NxN é não-invertivel se e somente
se existe um vetor x não nulo tal que Ax=0.





-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br
[mailto:owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br] Em nome de niski
Enviada em: quarta-feira, 9 de abril de 2003 11:15
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] pequena duvida sobre matrizez

Colegas, por favor me ajudem...
Eu sei que o produto de qualquer matrizes invertiveis é invertivel.
Mas uma matriz invertivel pode surgir do produto de uma invertivel com 
outra não invertivel? Minha opinião é que não.
pois seja A invertivel
det(AB) = det(A). det(B)
det(AB) = m.n

Sabe-se que m é diferente de 0.
Mas B por não ser invertivel tem determinante = 0
Logo det(AB) = 0 e entao a matriz AB nao é invertivel.

Essa demonstracao esta correta? Há como provar sem o uso de
determinantes?
Obrigado

Fabio Niski
www.linux.ime.usp.br/~niski
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[about him:]
It is rare to find learned men who are clean, do not stink and have a 
sense of humour.
Gottfried Whilhem Leibniz

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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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