Re: [obm-l] Bijecao

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, Apr 09, 2003 at 01:26:45PM -0300, Domingos Jr. wrote:
> > Seja R um anel tal que cada funcao de R em R pode ser expressa como um
> > polinomio com coeficientes em R.
> > Prove que R eh um corpo finito.
> 
> Acho que uma possível idéia para esse problema é:
> 
> Seja R o anel e suponha R infinito, suponha que toda função de R em R pode
> ser expressa como um polinômio com coef. em R.
> 
> Seja f : R -> R, f(x) = {a, se x = 0 e 0 se x != 0}, onde a é um elemento
> não nulo do anel.
> Essa função deve ser expressa por um polinômio, mas se p é um polinômio
> dessa forma, p(x) != 0 pois p(0) = a != 0 e, no entando, existem infinitas
> raízes para p, um absurdo.

A demonstração infelizemnte não está correta.
Seja A o anel de todas as funções de N em Z
com soma e produto coordenada a coordenada.
O polinômio x^2 - x admite infinitas raízes em A:
todas as funções x com x(n) = 0 ou 1 para todo n.

O teorema que você quer (um polinômio de grau n
tem no máximo n raízes) só vale em um domínio,
um anel comutativo com unidade onde
         ab = 0    ->   a = 0  ou  b = 0
 
[]s, N.
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