|
Caros colegas da lista:
Muitas vezes um problema é proposto na lista,
nenhuma solução é dada nos dias seguintes e logo o problema cai no esquecimento.
Assim, resolvi fazer uma compilação (temo que incompleta) daqueles
problemas da lista que ficaram sem solução.
1. Seja
A = | A1 |
| A2 |
uma matriz m x n com A1 n x n não singular e A2 uma
matriz (m-n) x n arbitrária
A+ é a pseudo-inversa de A, definida como
A+ = (A' * A)^(-1) * A' prove que ||A+|| <= ||(A1)^(-1)||
OBS: A norma aqui é induzida:
||A|| = sup ||Ax||
||x|| = 1
*********
2. É possível que um polinômio de coeficientes
inteiros P(X) irredutível se fatore em Z/(n) para todo n natural
?
*********
3. A e B são cantos opostos de um tabuleiro n x n,
dividido em n^2
quadradinhos por linhas paralelas a seus lados. Em cada quadradinho é traçada sua diagonal paralela a AB, tal que o tabuleiro fica dividido em 2n^2 triângulinhos. O tabuleiro tem (n + 1)^2 pontos que são vértices dos quadrinhos e um qrande número de segmentos, cada qual medindo 1 ou sqrt2. Uma peça move-se de A até B através dos segmentos. Ela nunca passa duas vezes pelo mesmo segmento e seu caminho inclui exatamente dois lados de cada triângulinho. Para qual n isto é possível? *********
4.
A) As medidas dos ângulos agudos de um
triângulo pitagórico (triângulo retângulo cujos lados têm medida inteira) não
são inteiras (quando expressos em graus).
B) Se os lados de um triângulo têm medida inteira e
um de seus ângulos tem medida inteira, então esse ângulo mede 60, 90 ou 120
graus.
C) Se um triângulo tem os três lados e os três
ângulos com medida inteira então ele é equilátero.
*********
5. Nos festejos juninos, 20 casais de dançarinos
são colocados em círculo de tal maneira que um homem e uma mulher formando um
par estão situados diametralmente opostos. Durante a dança, dois dançarinos
adjacentes trocam de lugar enquanto todos os outros permanecem na mesma posição.
Essa mudança é repetida com pares adjacentes até que, na posição final, os dois
dançarinos de cada par estejam novamente diametralmente opostos, mas na posição
contrária da inicial. Então o número mínimo de mudanças, de dois dançarinos
adjacentes, para acontecer isso é:
(a) 20! (b) 400 (c) 10! (d)
19! (e) 20
*************
6. Dê um exemplo de uma sequência (Xn) de números
reais tal que:
lim ( Xn / n^t ) = 0 para todo t >
0
e
lim ( [log(n)]^k / Xn ) = 0 para todo k >
0 ********* 7. Um triângulo tem lados com medida inteira e área
racional. Prove que uma de suas alturas tem medida inteira e que o pé desta
altura está a uma distância inteira dos vértices do triângulo.
*********
8. Um polígono convexo possui 2n lados.
Prove que o polígono contém no mínimo n diagonais que não
são paralelas a qualquer de seus lados.
*********
9. Seja K um inteiro >= 2.
infinito
Seja S = SOMATÓRIO 1 / K^(n^2) =
1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16 + ...
n
= 1
Prove que S é irracional.
*********
10. Um mágico tem cem cartões numerados de 1 a
100.
Coloca-os em três caixas, uma vermelha, uma branca e uma azul, de modo que cada caixa contém pelo menos um cartão. Uma pessoa da platéia escolhe duas das três caixas, seleciona um cartão de cada caixa e anuncia a soma dos números dos dois cartões que escolheu. Ao saber esta soma, o mágico identifica a caixa da qual não se retirou nenhum cartão. Descreva todas as maneiras de se colocar todos os cartões nas caixas de modo de que este truque sempre funcione? (Duas maneiras consideram-se diferentes se pelo menos um cartão é colocado numa caixa diferente). Uma formulação equivalente deste problema
é:
Determine todas as partições do
conjunto:
{1, 2, ..., 100}
em três subconjuntos V, B e A, de forma
que:
V+B, V+A e B+A sejam disjuntos
(V+B = {x + y tais que x pertence a V e y pertence
a B}, idem para os outros dois conjuntos-soma )
Por enquanto só foram encontradas duas
soluções:
V = {1, 4, 7, ..., 100} = {3k + 1}
B = {2, 5, 8, ..., 98} = {3k + 2}
A = {3, 6, 9, ..., 99} = {3k}
(além das outras 5 permutações de V, B e
A}
e
V = {1}
B = {100}
A = {2, 3, ..., 99} (também já se provou que esta é a única partição -
a menos de permutações dos conjuntos - que tem dois conjuntos
unitários)
************ |