[obm-l] Re: [obm-l] Problemas em Aberto

[peterdirichlet1985@xxxxxxxxxxxxxx]

Tu de novo Claudio!!!!!!!Esse ultimo e da IMO da Coreia e a solu�ao do Fabricio(que
fez a prova alias)e muito legal.Tente uma indu�ao e pense primeiro que asw
caixas sao iguais depois fa�a vezes tres.

Vou supor que esta coisa de tres angulos e dita em graus.
Talvez saia com SLC:a^2=b^2+c^2-2bc*cos A.
A tarefa e achar os t tais que cos t e racional se t e expresso em graus.
Talvez saia usando complexos.Me lembro de uma prova de que arccos 3/5 e
irracional se dito em graus que usava uns fatos do artigo do Ed na Eureka
6.As Eurekas ce ve na Internet.


-- Mensagem original --

>HelpCaros colegas da lista:
>
>Muitas vezes um problema � proposto na lista, nenhuma solu��o � dada nos
>dias seguintes e logo o problema cai no esquecimento. Assim, resolvi fazer
>uma compila��o (temo que incompleta) daqueles problemas da lista que ficaram
>sem solu��o.
>
>1. Seja 
>A = | A1 |
>      | A2 |
>uma matriz m x n com A1 n x n n�o singular e A2 uma matriz (m-n) x n arbitr�ria
>
>A+ � a pseudo-inversa de A, definida como 
>A+ = (A'  * A)^(-1) * A'
>
>prove que ||A+|| <= ||(A1)^(-1)||  
>
>OBS: A norma aqui � induzida:
> ||A|| =  sup ||Ax||
>        ||x|| = 1
>
>*********
>
>2. � poss�vel que um polin�mio de coeficientes inteiros P(X) irredut�vel
>se fatore em Z/(n) para todo n natural ?
>
>
>*********
>
>3. A e B s�o cantos opostos de um tabuleiro n x n, dividido em n^2 
>quadradinhos por linhas paralelas a seus lados. Em cada quadradinho � 
>tra�ada sua diagonal paralela a AB, tal que o  tabuleiro fica dividido
em
>
>2n^2 tri�ngulinhos. O tabuleiro tem (n + 1)^2 pontos que s�o v�rtices dos
>
>quadrinhos e um qrande n�mero de segmentos, cada qual medindo 1 ou sqrt2.
>
>Uma pe�a move-se de A at� B atrav�s dos segmentos. Ela nunca passa duas

>vezes pelo mesmo segmento e seu caminho inclui exatamente dois lados de
cada
>
>tri�ngulinho. Para qual n isto � poss�vel?
>
>*********
>
>4. 
>A) As medidas dos �ngulos agudos de um tri�ngulo pitag�rico (tri�ngulo
ret�ngulo
>cujos lados t�m medida inteira) n�o s�o inteiras (quando expressos em graus).
>
>B) Se os lados de um tri�ngulo t�m medida inteira e um de seus �ngulos
tem
>medida inteira, ent�o esse �ngulo mede 60, 90 ou 120 graus.
>
>C) Se um tri�ngulo tem os tr�s lados e os tr�s �ngulos com medida inteira
>ent�o ele � equil�tero.
>
>*********
>
>5. Nos festejos juninos, 20 casais de dan�arinos s�o colocados em c�rculo
>de tal maneira que um homem e uma mulher formando um par est�o situados
diametralmente
>opostos. Durante a dan�a, dois dan�arinos adjacentes trocam de lugar enquanto
>todos os outros permanecem na mesma posi��o. Essa mudan�a � repetida com
>pares adjacentes at� que, na posi��o final, os dois dan�arinos de cada
par
>estejam novamente diametralmente opostos, mas na posi��o contr�ria da inicial.
>Ent�o o n�mero m�nimo de mudan�as, de dois dan�arinos adjacentes, para
acontecer
>isso �:
>
>(a) 20!  (b) 400  (c) 10!  (d) 19!  (e) 20
>
>*************
>
>6. D� um exemplo de uma sequ�ncia (Xn) de n�meros reais tal que: 
>
>lim  ( Xn / n^t ) = 0 para todo t > 0 
>e
>lim ( [log(n)]^k / Xn ) = 0 para todo k > 0
>
>*********
>
>7. Um tri�ngulo tem lados com medida inteira e �rea racional. Prove que
uma
>de suas alturas tem medida inteira e que o p� desta altura est� a uma dist�ncia
>inteira dos v�rtices do tri�ngulo.
>
>*********
>
>8. Um pol�gono convexo possui  2n  lados. Prove que o pol�gono cont�m no
>m�nimo  n  diagonais que n�o s�o paralelas a qualquer de seus lados.
>
>*********
>
>9. Seja K um inteiro >= 2. 
>                       infinito
>Seja S  =  SOMAT�RIO  1 / K^(n^2) = 1/K + 1/K^4 + 1/K^9 + 1/K^16 + ...
>                        n = 1
>Prove que S � irracional.
>
>*********
>
>10. Um m�gico tem cem cart�es numerados de 1 a 100.
>Coloca-os em tr�s caixas, uma vermelha, uma branca e
>uma azul, de modo que cada caixa cont�m pelo menos um
>cart�o.
>Uma pessoa da plat�ia escolhe duas das tr�s caixas,
>seleciona um cart�o de cada caixa e anuncia a soma dos
>n�meros dos dois cart�es que escolheu. Ao saber esta
>soma, o m�gico identifica a caixa da qual n�o se
>retirou nenhum cart�o.
>Descreva todas as maneiras de se colocar todos os
>cart�es nas caixas de modo de que este truque sempre
>funcione? (Duas maneiras consideram-se diferentes se
>pelo menos um cart�o � colocado numa caixa diferente).
>
>Uma formula��o equivalente deste problema �:
>Determine todas as parti��es do conjunto:
>{1, 2, ..., 100}
>em tr�s subconjuntos V, B e A, de forma que:
>V+B, V+A e B+A sejam disjuntos
>(V+B = {x + y tais que x pertence a V e y pertence a B}, idem para os outros
>dois conjuntos-soma )
>
>Por enquanto s� foram encontradas duas solu��es:
>V = {1, 4, 7, ..., 100} = {3k + 1}
>B = {2, 5, 8, ..., 98} = {3k + 2}
>A = {3, 6, 9, ..., 99} = {3k}
>(al�m das outras 5 permuta��es de V, B e A}
>
>e
>
>V = {1}
>B = {100}
>A = {2, 3, ..., 99} 
>(tamb�m j� se provou que esta � a �nica parti��o - a menos de permuta��es
>dos conjuntos - que tem dois conjuntos unit�rios)
>
>************



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