[obm-l] Problemas em Aberto II

12. Dada a sequencia a[n+1]= 2a[1]*a[n] - a[n-1] definida para todo n>=1 tal que a[0]=100 e a[100]= 0.

a) Mostre que | a[1] |<=1.

b) Determine a[2003].

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13. X, Y e Z são reais positivos e satisfazem o sistema abaixo,

X^2 + XY + (Y^2)/3 = 25
(Y^2)/3 + Z^2 = 9
Z^2 + ZX + X^2 = 16

Encontre o valor de ( XY + 2YZ + 3ZX ).

SUGESTÃO : Você nao precisa, necessariamente, resolver o sistema ...

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14. De quantas formas podemos colocar N rainhas em um
tabuleiro NxN tal que nenhuma rainha possa enxergar
outra?

obs: uma rainha enxerga outra se ambas estiverem na
mesma coluna, linha ou diagonal.
(Este problema também está em aberto. Talvez valha a pena tentar com Torres e Bispos ao invés de Rainhas)

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15.
>
> _ _ _ _ _ _ _ 1 2 ... n _
> _|_| |_|_| |_|_|_|_|_|_|_
> B   \_\ /_/      A
>     \_|_/
>        |_|
>       |_|
>       |_| C
>        |o|
>
> Imagine que o 'desenho' acima é uma linha férrea,
> aonde o segmento B é extensão do segmento A e o
> segmento C se conecta com ambos segmentos.
> Os numeros no segmento A representam n vagões
> _soltos_ e enumerados.
> Os vagoes podem se mover de A -> B, A -> C e C -> B,
> mas nunca de C -> A nem B -> A nem B -> C..
>
> De quantas formas eh possivel reagrupar os vagões no
> segmento B?
>
> (há espaço suficiente para n vagões tanto em A,
> quanto em B e em C)

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16. Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b).

A) É possível que, apesar de existir, f' seja descontínua em todo ponto de (a,b).

B) Em caso afirmativo, será que a condição f(a) < f(b) é suficiente para garantir que exista um sub-intervalo [c,d] (a <= c < d <= b) onde f é crescente?

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17. a, b, c, d são números reais não-negativos tais que:

ab+ac+ad+bc+bd+cd+abc+abd+acd+bcd=2.

Mostre que:

3(a+b+c+d)>=4(ab+ac+ad+bc+bd+cd).

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18. Numa loteria sao sorteados 7 numeros escolhidos aleatoriamente de {1,2,3,...,48,49}. Cada cartao de apostas deve ser preenchido com exatamente 7 numeros. Uma pessoa pode pode apostar quantos cartoes desejar sem pagar nada, desde que quaisquer dois cartoes de sua aposta tenham, NO MAXIMO, uma dezena em comum. O primeiro premio e dado a pessoa que acertar o maior numero de triplos.
A) Exiba uma aposta gratuita que tenha a maxima probabibilidade de ganhar o primeiro premio.
B) Qual o valor da probabilidade acima ?

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19. Suponha que os números da forma 2^x * 3^y (x, y: inteiros não negativos) são colocados em ordem crescente. Prove que existem termos consecutivos - digamos 2^a * 3^b e 2^c * 3^d - tais que um dos números | a - c | ou | b - d | é tão grande quanto se queira.

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20. Duas de Análise Real:

A) Prove que se f:{a, b) -> R é contínua em c em (a,b) e lim x-> c
f'(x) = L, então f'(c) = L. A partir daí, conclua que derivadas jamais
apresentam descontinuidades do tipo salto. Conclua também que se f' é
monotônica em um intervalo I, então f'é contínua em I.

B) Suponhamos que f seja diferenciável em R e seja k<>0. Mostre que:
B.1) se k>0, então lim x -> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R, implica
que lim x-> infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito f(x) = L/k
B.2) se k<0, então lim x-> infinito f'(x) + k f(x) = L, L em R, só é
possível se lim x-> e^(kx) f(x) = 0, caso em que temos também lim x->
infinito f('x) = 0 e lim x-> infinito f(x) = L/k
sugestão : defina h(x) = e^(kx) f(x) g(x) = e^(kx) . Logo, f(x) =
h(x)/g(x). Use L'Hopital.

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