[obm-l] Re: [obm-l] funções compostas

["Cláudio \(Prática\)" <claudio@xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

(fog)(x) = f(x^2)

(hof)(x) = 81/f(x)

(fog)(x) = (hof)(x)  <==>  f(x)*f(x^2) = 81  <==> F(x) = 0, com F(x) =
f(x^2)*f(x) - 81.

Como f é contínua, F também é.
Também:
f(0,04)*f(0,2) = (3^0,04 + 1/0,04)*(3^0,2 + 1/0,2) > 25 * 5 = 125 > 81
f(0,25)*f(0,5) = (3^0,25 + 1/0,25)*(3^0,5 + 1/0,5) < (3 + 4)*(3 + 2) = 7*5 =
35 < 81
f(1)*f(1) = (3^1 + 1/1)*(3^1 + 1/1) = 4*4 = 16 < 81
f(4)*f(2) = (3^4 + 1/4)*(3^2 + 1/2) > 3^4*3^2 = 3^6 = 729 > 81
de forma que F(x) = f(x^2)*f(x) - 81 tem uma raiz entre 0,2 e 0,5 e outra
entre 1 e 2.

Além disso, F'(x) é claramente positiva para x > 1 e negativa para x < 0,5,
de forma que aquelas são as únicas raízes ==> as alternativas (a) e (d)
estão corretas.

Com uma planilha eu achei as duas raízes de F(x), ambas situadas entre 0 e 2
(com 5 casas decimais, são 0,26146 e 1,52875).


Um abraço,
Claudio.



----- Original Message -----
From: "Eduardo Henrique Leitner" <ehl@netbank.com.br>
To: "lista de matemática" <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Sunday, January 26, 2003 7:36 PM
Subject: [obm-l] funções compostas


(ITA-92) Considere as funções: f: R* -> R, g: R -> R e h: R* -> R definidas
por:

f(x) = (tres elevado a x) + (1/x) , g(x) = x² , h(x) = (81/x)

O conjunto dos valores de x em R* tais que (fog)(x) = (hof)(x) é subconjunto
de:
a) [0,3]
b) [3,7]
c) [-6,1]
d) [-2,2]
e) n.d.a



eu tentei calcular (fog)(x) e (hof)(x) e igualar os dois... mas cheguei à
uma equação que, putz, sem comentários...

alguém pode me ajudar?
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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