[Date Prev][Date Next][Thread Prev][Thread Next][Date Index][Thread Index]

Re: [obm-l] Problema de Geometria



Considere duas circunferências tangentes internamente em um ponto A.Traça-se uma corda BC na maior circunferência de modo que essa corda tangencie a menor circunferência num ponto D.Prove que a semi-reta AD é bisssetriz do ângulo BAC.
 
Solucao:
 
i) Sejam O1 e O2 os centros das circunferencias menor e maior respectivamnete.
 
Afirmacao 1: O1, O2 e A sao colineares.
 
Prova: Seja t a reta tangente as duas circunferencias em A. Assim, O1A e O2A sao perpendiculares a t. Logo o angulo entre O1A e O2A eh zero.
 
ii) Seja D' a intersecao do prolongamento de AD com a circunferencia maior.
 
Afirmacao 2: Os triangulos AO1D e AO2D' sao semelhantes.
 
Prova: Ambos triangulos sao isoceles e tem um angulo comum( O1ÂD = O2ÂD' ).
 
iii) Da afirmacao 2, conclui-se que O2D' // O1D ==> O2D' eh perpendicular a BC.
 
Afirmacao 3: D' eh ponto medio do arco BC.
 
Prova: O2BC eh isosceles e O'2D' eh perpendicular a BC.
 
Isto eh tudo...
 
Andre A.
 
 
Sent: Thursday, January 23, 2003 6:18 PM
Subject: [obm-l] Problema de Geometria

Caro Eder:
 
Você (ou alguém da lista) fez algum progresso neste problema?
 
O máximo que eu consegui foi o seguinte:
 
Se BC for paralela à tangente por A, o problema fica fácil, pois nesse caso o triângulo ABC é isósceles e AD é altura (e portanto bissetriz) do ângulo BAC.
 
Caso contrário, seja P o ponto de interseção de BC (prolongado) com a tangente por A (suponha, sem perda de generalidade, que B está entre P e D).
 
PD e PA são tangentes ao círculo menor ==> PD = PA.
PA^2 = PB * PC  ==>  PD^2 = PB * PC.
 
A partir daí, eu acho que a idéia é usar alguma relação na linha da divisao harmônica de segmentos, de onde iremos concluir que:
AC / AB = DC / DB ==> CAD = BAD, mas ainda não encontrei o caminho.
 
 
Um abraço,
Claudio.
----- Original Message -----
From: Eder
Sent: Thursday, January 16, 2003 1:08 PM
Subject: [obm-l] geometria

Gostaria de ajuda no problema abaixo:
 
 
Considere duas circunferências tangentes internamente em um ponto A.Traça-se uma corda BC na maior circunferência de modo que essa corda tangencie a menor circunferência num ponto D.Prove que a semi-reta AD é bisssetriz do ângulo BAC.
 
Eu fiz o esquema aqui,mas não consegui provar...
 
Eder