Re: [obm-l] Besouro Cartesiano

Nao te dou certeza mas acho que isso sai com Kronecker.Tente ver as Eurekas e depois eu tento em casa.

Para minimizar a duração da jornada de (5,8) até (-11/2,-3/2) o besouro deverá passar pela origem (0,0) gastando 7.57 unidades de tempo.

Este é um problema clássico da física - o da refração dos raios luminosos quando há mudança do meio por onde eles se propagam. O belo arco-iris é o exemplo mais comum. Ele explica, também, porque a piscina parece mais rasa do que na realidade é.

Diz a Lei da Refração (Lei de Snell):

n1 sin(theta1) = n2 sin(theta2)

onde

n1: índice de refração do meio onde está o raio incidente

n2: índice de refração do meio onde está o raio refratado

theta1: ângulo formado entre o raio incidente e a normal à superfície de separação dos meios

theta2: ângulo formado entre o raio refratado e a normal à superfície de separação dos meios

O índice de refração, por sua vez, é proporcional à velocidade de propagação da luz (do som, do besouro, etc) no meio. Quer dizer, quanto maior a velocidade de propagação, maior o índice de refração - no caso presente, o índice de refração dos quadrantes 1,3 e 4 é o dobro do índice de refração do quadrante 2.

Como o seno de um ângulo não pode ser maior do que 1, temos um problema quando alguma coisa vem de um meio rápido e entra num meio lento. A partir de um certo ângulo de incidência - chamado ângulo crítico - não mais existe refração (o raio não "entra" no outro meio) e sim reflexão (a superfície de separação dos meios funciona com um espelho). Olhe a superfície - calma - de um lago, de um ponto logo acima da superfície - V não vai ver o fundo do lago, e sim o céu.

É fácil mostrar que arc sin (theta-crítico) = n2/n1 (no caso presente, theta-critico=30 graus).

É por causa desse ângulo crítico que o besouro tem que evitar o quadrante 2. Se ele fosse em linha reta da origem para o destino, o ângulo de incidência entre os quadrantes 1 e 2 seria 42 graus, maior que o ângulo crítico, o que faria com o besouro "ricocheteasse" de volta para o quadrante 1.

É claro que se pode provar isso matematicamente, bastando armar as equações e ver que o percurso de tempo mínimo - se forçarmos o besouro a entrar no quadrante 2 - vai ter que passar pelo reino dos complexos, o que provavelmente mataria nosso pobre animal.

Como sou engenheiro, e vi pelo "jeitão" que o ângulo de incidência estava muito grande, montei a função que dá o tempo que queríamos minimizar - em função dos pontos em que a trajetória corta os eixos "y" e "x" - e mandei o Mathematica traçar o mapa da mina. Não deu outra: ele passa pela origem.

PS: Quem quiser ver uma explicação da Lei de Refração em linguagem bastante simples, vá até:

http://scienceworld.wolfram.com/physics/AngleofRefraction.html

----- Original Message -----

From: larryp

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Tuesday, December 31, 2002 7:26 AM

Subject: [obm-l] Besouro Cartesiano e 2003

Dois problemas bonitinhos:

1) Um besouro no plano cartesiano quer (?) ir do ponto (5,8) até o ponto (-11/2,-3/2). Sua velocidade é constante, igual a 2 unidades / minuto, exceto quando está no segundo quadrante (x<0 e y>0), no qual sua velocidade é apenas 1 unidade / minuto.

Qual o trajeto que minimizará a duração de sua jornada?

2) Prove que existe uma potência de 2 cujos primeiros quatro algarismos são 2, 0, 0 e 3.

Sugestão: Log(2) na base 10 é irracional.

Obs: O resultado continua válido se ao invés de 2 tivermos qualquer inteiro positivo que não seja uma potência de 10 e se ao invés de 2, 0, 0 e 3, tivermos uma sequência arbitrariamente longa de algarismos quaisquer (naturalmente, com o primeiro diferente de zero).

Um abraço,

Claudio Buffara.