Re: RES: [obm-l] ..........

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Raul e demais
colegas desta lista,

A sua estrategia, neste caso, esta correta, pois ela leva a um resultado 
correto com passos corretos. Mas me parece que voce nao entendeu em 
plenitude porque ela funcionou, dai nao ter podido justificar com clareza 
seus argumentos ...

Seja Y(X)= sqrt(5-X). O que sera "sqrt(5 - sqrt(5-X))" ? Sera, sem duvida 
nenhuma, Y(Y(X)). Portanto, resolver a equacao

sqrt(5 - sqrt(5-X)) = X

Equivale a perguntar : Para quais X, Y(Y(X))=X ?

Evidentemente que podemos generalizar este raciocinio... Por exemplo, uma 
equacao como sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X)))= X pode ser parafraseada na 
pergunta :

Para quais X, Y(Y(Y(X)))=X ?

O que voce observou e que a solucao de Y(X)=X e a mesma da solucao de
Y(X) composta consigo mesma N vezes, certo ? Sera sempre certo isso ? Por 
que ocorre este fenomeno ?

Para que voce possa entender em plenitude o que esta ocorrendo e num estalar 
de dedos ser capaz de resolver qualquer equacao desta natureza com qualquer 
quantidade de radicais, faca o seguinte :

1) Observe que a solucao de Y(X)= X e a interseccao do grafico de Y=X com o 
grafico de Y=sqrt(5 - X)
2) Trace os dois graficos mencionados acima.
3) Interprete geometricamente o processo representado pela equacao.

Exemplo. Resolver : sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X)))= X

Claramente que devemos ter 5 - X >= 0 isto e : X =< 5. Tomando um X=X1 
qualquer no intervalo (0,5) o valor Y1=sqrt(5 - X1) e a ordenada do grafico 
de Y=sqrt(5-X) no ponto X=X1. Por este ponto trace uma paralela ao eixo OX 
ate encontrar a reta Y=X. Seja (X2,Y2) este ponto. Trace por este ponto uma 
vertical ate encontrar o grafico de Y=sqrt(5 - X). Este novo ponto Y3 sera 
tal que Y3=sqrt(5 - sqrt(5 - X1)). Repita o processo acima. Voce vai 
encontrar um ponto Y4 em Y=sqrt(5-X) tal que :

Y4=sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X1)))

O que voce procura e ONDE COMECAR, isto e, voce procura o ponto X tal que 
Y4=X, isto e, a solucao de :

X = sqrt(5 - sqrt(5 - sqrt(5 - X1)))

Nas condicoes do seu problema o ponto que satisfaz uma tal exigencia e 
precisamente o X de X=sqrt(5-X). POR ESTA RAZAO, quando voce passou do 
processo infinito para o finito as coisas funcionaram. Em Sistemas Dinamicos 
diriamos que o ponto de X=sqrt(5-X) e o PONTO ESTAVEL da questao. Qualquer 
outro ponto - NAS CONDICOES DO SEU PROBLEMA - implicaria numa divergencia e 
fuga, conforme voce pode verificar heuristicamente usando os graficos e as 
interpretacoes que dei.

Observe que aqui tivemos uma motivacao EMINENTEMENTE TOPOLOGICA, mas existem 
teoremas que normatizam este procedimento, mas que acredito nao seria 
apropriado falar sobre isso aqui e agora. De qualquer forma, voce vai se 
sentir mais seguro quando voltar a pensar em questoes semelhantes e nao vai 
se intimidar com equacoes como esta, mesmo que o numero de radicais seja 
muito grande.

Um problema irmao deste seria :

Seja Xn+1= KXn(1-Xn). Discuta a convergencia de Xn, se fixados Xo=R e sendo 
dado K.

Muitos autores chamam esta funcao de FUNCAO LOGISTICA e ela e excelente para 
se ver com clareza estas coisas.

Um abraco
Paulo Santa Rita
6,1925,170502








>   From: Euraul@aol.com
>   To: obm-l@mat.puc-rio.br
>   Sent: Friday, May 17, 2002 12:17 AM
>   Subject: Re: RES: [obm-l] ..........
>
>
>        Que tal essa estratégia ? Será que compliquei muito ?
>        A equação é x=sqrt(5-sqrt(5-x)) ; se x vale sqrt(5-sqrt(5-x)), 
> >podemos substituir tendo x = sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-sqrt(5-x)))). Se 
> >fizermos isso infinitas vezes, teremos um problema clássico que 
> >resumimos para x = sqrt(5-x), isto é, x^2 = 5 - x. Sendo a resposta a 
> >raiz positiva : (sqrt(21)-1)/2.
>         Um abraço,
>               Raul





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