(1) Se p eh primo e p.n +1 é
quadrado perfeito , mostre que n+1 é a soma de p quadrados perfeitos.
Uma solução possível
Seja a um inteiro positivo tal que p.n + 1 = a^2.
Dai segue-se que p.n = a^2 - 1 = (a+1).(a-1) (*)
Como p é primo, tem-se da igualdade acima ao menos uma
das possibilidades abaixo:
(I) a + 1 = k.p e a - 1 = k.p - 2 (k um inteiro
positivo)
(II)a + 1 = k.p + 2 e a - 1 = k.p (k
um inteiro positivo)
Considerando a primeira possibilidade, segue-se de (*)
p.n= kp(kp-2)
Decorre dai,
n + 1 = p. (k^2) - 2k + 1
= (p - 1 ) (k^2)
+ k^2 -2.k + 1
= ( p - 1) (k ^2)
+ (k - 1 )^2 (**)
Raciocinando de modo semelhante, decorre da segunda possibilidade que
n + 1 = p. (k^2) + 2k + 1
= (p - 1 ) (k^2)
+ k^2 +2.k + 1
= ( p - 1) (k ^2)
+ (k + 1 )^2 (***)
Portanto, podemos afirmar a partir dos casos (**) e (***),
que n + 1 é a soma de
(p - 1 ) + 1, ou seja, p quadrados perfeitos.
(2) Se a e b são inteiros consecutivos, mostre que a^2 +b^2 +(ab)^2 é quadrado perfeito.
Uma solução possível
Sendo a e b inteiros consecutivos, podemos escrever sem perda nenhuma
de generalidade que
b = a+1, (devido a simetria existente entre a e b na expressão
E ). Assim, a expressão
E = a^2 + b^2 + (ab)^2 pode ser reescrita da seguinte forma E = a^2
+(a+1)^2 + [a(a+1)]^2.
Portanto, podemos escrever
a^2 + b^2 + (ab)^2 = a^2 + (a+1)^2
+ [a(a+1)]^2.
= a^2 + a^2 + 2a + 1 + [a(a+1)]^2.
= 1 + 2a(a+1)
+ [a(a+1)]^2.
= [ 1 + a(a+1) ] ^ 2
Logo, a expressão dada corresponde a um quadrado perfeito.
(3)Se N está entre 2 quadrados
perfeitos sucessivos e difere detes
por x e y ,respectivamente, prove que N-xy é um quadrado
perfeito.
Uma solução possível
Para um natural N dado, seja a um inteiro
tal que
a^2 < N < (a+1)^2. Nestas condições,
consideremos
x = N - a^2 e y = (a+1)^2
- N.
Assim,
N-xy = N + [N - a^2] [N - (a+1)^2]
= N + [N - a^2] [ (N -a^2) - (2a+1)]
= N + [N - a^2]^2 - 2.[N - a^2].a - N + a^2
=[N - a^2]^2 - 2.[N - a^2].a + a^2
= [N - a^2 + a]^2
=[N + a - a^2 ]^2
Portanto,
N - xy é um quadrado perfeito.
(4).fatore (b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3
Uma solução possível
(b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 = b^3-c^3-3bc(b-c) + c^3 - a^3 - 3ca(c-a)
+ a^3 - b^3 -3ab(a-b)
= -3[ (b^2)c -(c^2)b + (c^2)a-(a^2)c + (a^2)b - (b^2)a ]
= -3[ (a^2)b - (b^2)a + (c^2)a -(c^2)b - (a^2)c +(b^2)c ]
= -3[ ab(a-b)
+ (c^2).(a-b). - c (a^2 -b^2)
]
= -3[ (a-b)] (ab +
c^2
- c(a+b)
]
= -3[a-b][ c^2 - ca - cb + ab ]
= -3[a-b][ c^(c-a) - b(c-a) ]
= -3. (a-b) .(c-a). (c - b)
(5).Fatore x^4 +y^4
Uma solução possível
x^4 + y^4 = ( x^2 + y ^2 ) ^2 - [(sqrt(2) .(xy)]^2
= (x^2 + y^2 + sqrt(2).xy ).(x^2 + y^2 - sqrt(2).xy )
(6).Se n é um
inteiro dado pela soma de dois números triangulares, então
existem inteiros a e b tais que
n = [a(a+1)]/2 + [b(b+1)]^2 ( ocorreu
um erro no enunciado proposto por você, verifique!).
Para um natural n, prove que:
i) Se n é a soma de dois números triangulares,
então 4n + 1 é a soma de 2 quadrados perfeitos.
ii) Se 4n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos, então
n é a soma de dois números triângulares.
Uma solução possível
i)
n = [a(a+1)]/2 + [b(b+1)]^2
4n+1 = 2.(a^2) + 2 a + 2.(b^2) + 2b + 1
4n+1 = .[(a^2) -2 ab + .(b^2) ]+ [(a^2) + .(b^2) +1+ 2a + 2b
+2ab]
4n+1 = .(a-b)^2 + (a+b+1)^2
Dai resulta que 4n + 1 é uma soma de dois quadrados perfeitos.
ii) Seja
4n+1 = x^2 + y ^2, com x e y inteiros.
Existem (sempre) inteiros a e b tais que
x = a - b e y = ( a+b+1), onde
a = (x+y-1)/2 e b =(y-x-1)/2 ( verifique)
Dai,
4n+1 = (a-b)^2 + (a+b+1)^2
4n+1 = .[(a^2) -2 ab + .(b^2) ]+ [(a^2) + .(b^2) +1+ 2a + 2b
+2ab]
4n+1 = 2.(a^2) + 2 a + 2.(b^2) + 2b + 1
n = [a(a+1)]/2 + [b(b+1)]^2
Dai resulta que n é a soma de dois números triangulares.
Nota: Para aqueles que não conhecem números triângulares,
visite o site abaixo:
http://www.educ.fc.ul.pt/semtem/semtem99/sem26/
Um abraço e desculpe-me por qualquer erro
PONCE
Adherbal Rocha Filho wrote:
Oi!
>ae, alguem poderia me dar um help nessas questoes?
>1. se p eh primo e pn+1 eh quadrado perfeito ,mostre que n+1 eh a soma de p
>quadrados perfeitos.
>2.se a e b são inteiros consecutivos,mostre que a^2 +b^2 +(ab)^2 eh
>quadrado perfeito.
>3.se N estah entre 2 quadrados perfeitos sucessivos e difere detes
>por x e y ,respectivamente,prove que N-xy eh quadrado perfeito.
>4.fatore (b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3
5.Fatore x^4 +y^4
6.supondo que n (inteiro) eh a soma de dois nºs triangulares,
>n=a^2+a/2 + b^2 +b/2
>expresse 4n+1 como soma de 2 quadrados. reciprocamente, se 4n+1 eh a soma
>de 2 quadrados ,prove que n eh a soma de 2 numeros triangulares.
>
> Muito obrigado
> Adherbal
>
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