Re: [obm-l] continuidade

["Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@xxxxxxxxxxxx>]

From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
> From: "Eduardo Casagrande Stabel" <dudasta@terra.com.br>
> > From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@sucuri.mat.puc-rio.br>
> > > On Thu, Apr 11, 2002 at 07:26:27PM -0300, Bruno F. C. Leite wrote:
> > > > At 17:28 11/04/02 -0300, you wrote:
> > > > >Ola pessoal:
> > > > >Este exercicio eh para quem jah viu continuidade.
> > > > >"Um ciclista fez um percurso de 6 milhas em 30 minutos.
> > > > >Prove
> > > > >que, algum trecho do percurso, medindo uma milha, foi percorrido
> > > > >pelo ciclista em exatamente 5 minutos."
> > > >
> > > > Vamos definir
> > > > f(x)= tempo gasto para ir de x a x+1. (x em milhas)
> > > > ou se (5<x<6), f(x) é o tempo gasto para ir de x a 6.
> > >
> > > Acho que você não deveria incluir x > 5, você assim está
> > > mudando o problema.
> > > >
> > > > Queremos mostrar que f(x)=5 para algum x entre 0 e 5. Suponha que
isto
> é
> > > > falso. Bem, f é uma função contínua, e portanto ou f(x)<5 entre 0 e
5
> ou
> > > > f(x)>5 entre 0 e 5. Mas ambas contradizem o fato de ele ter feito o
> > > > percurso de 6 milhas em 30 minutos.
> > >
> > > ...pois f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 30
> > > donde f(i) <= 30 e f(j) >= 30 para i e j em 0,1,2,3,4,5.
> > > >
> > > > Está tudo certo?
> > >
> > > Com as pequenas ressalvas que eu fiz, está.
> > >
> > > Um problema mais difícil seria:
> > > pode-se ou não garantir que exista algum trecho do percurso
> > > medindo exatamente 1.2 milha que tenha sido percorrido
> > > em exatamente 6 minutos?
> >
> > Ola pessoal e Nicolau!
> >
> > Esse problema que o Nicolau propoe eh basicamente o mesmo.
> > Basta definir
> > f(x) = tempo para ir de x ate x + 1.2 (milhas)
> >
> > Ver que
> > f(0) + f(1.2) + f(2.4) + f(3.6) + f(4.8) = 30
> >
> > E tirar a conclusao de que nao se pode ter f(x) < 5 ou f(x) >5 para todo
> x.
> >
> > Um problema realmente mais dificil seria:
> > pode-se ou nao garantir que exista algum trecho do percurso medindo
> > exatamente 1.1 milhas que tenha sido percorrido em 5.5 minutos?
> >
> > A diferenca dos problemas eh que agora 6/(1.1) nao da um numero inteiro!
> >
> > Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
> >
>
> Ola pessoal!
>
> Estive pensando no que escrevi, e achei que tinha mais algumas coisas a
> dizer. Da maneira que formulei a solucao do problema (ai de cima), um
> teorema de analise (mais geral) e um argumento geometrico bem convicente
me
> vieram a cabeca. Vou tentar simplificar para manter a clareza:
>
> O TEOREMA
> Seja f:[0,1]->[0,1] uma funcao continua e crescente com f(0)=0 e f(1)=1.
> Seja k (0<k<1) um numero real.

CORRECAO!!!
===(0<k<1/2)===

Desculpe a confusao!

> Entao existe (pelo menos) um numero x (0<=x<=1-k) tal que
> f(x) + k = f(x + k).
>
> O ARGUMENTO GEOMETRICO
> Suponhamos por absurdo que se tenha f(x) + k < f(x + k) para todo x. O que
> isso quer dizer geometricamente? Que o crescimento da funcao de x ate x +
k
> eh maior que k, para todo x. Mas repare que de 0 para 1, a funcao cresce
> exatamente 1. As contas nao fecham assim! Desenha uma reta paralela `a
reta
> afim em algum ponto (x,f(x)) e voce vai ver que a funcao (em x+k) esta
acima
> dessa reta. Esse argumento, eh claro, nao demonstra o teorema, mas
convence!
> Alguem se habilita a demonstrar esse fato? Nao eh tao dificil, nem precisa
> de tecnicas de analise, basta criatividade. Reflita geometricamente.
>
> Um abraco!
>
> Eduardo Casagrande Stabel. Porto Alegre, RS.
>
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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