Re: [obm-l] treino para olimpíadas....

["marcelo oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

>
>  1)Prove que [n/3]+[(n+2)/6]+[(n+4)/6]=[n/2]+[(n+3)/6], onde [x]=parte
>inteira de x.

Existem 6 restos ma divisão de n por 6:
i) n = 6k   =>
[n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] =
= [2k] + [k + 1/3] + [k + 2/3] = 2k + k + k = 4k
[n/2] + [(n + 3)/6] = [3k] + [k + 1/2] = 3k + k = 4k
ii) n = 6k + 1   =>
[n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] =
= [2k + 1/6] + [k + 1/2] + [k + 5/6] = 2k + k + k = 4k
[n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 1/2] + [k + 2/3] = 3k + k = 4k
iii) n = 6k + 2   =>
[n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] =
= [2k + 2/3] + [k + 2/3] + [k + 1] = 2k + k + k + 1 = 4k + 1
[n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 1] + [k + 5/6] = 3k + 1 + k = 4k + 1
iv) n = 6k + 3   =>
[n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] =
= [2k + 1] + [k + 5/6] + [k + 7/6] = 2k + 1 + k + k + 1 = 4k + 2
[n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 3/2] + [k + 1] = 3k + 1 + k + 1 = 4k + 2
v) n = 6k + 4   =>
[n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] =
= [2k + 4/3] + [k + 1] + [k + 4/3] = 2k + 1+ k + 1+ k + 1 = 4k + 3
[n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 2] + [k + 7/6] = 3k + 2+ k + 1 = 4k + 3
vi) n = 6k + 5   =>
[n/3] + [(n + 2)/6] + [(n + 4)/6] =
= [2k + 5/3] + [k + 7/6] + [k + 3/2] = 2k + 1+ k + 1+ k + 1= 4k + 3
[n/2] + [(n + 3)/6] = [3k + 5/2] + [k + 3/2] = 3k + 2+ k + 1 = 4k + 3

Deu trabalho mas acho é isto aí, separando em todos os casos.



>  2) Existem inteiros m e n tais que 5m^2-6mn+7n^2=1985?

Encare esta equação como sendo uma equação de segundo grau em m. Para que 
esta equação possua uma solução inteira então seu discriminante deve ser um 
quadrado perfeito:

36n^2 - 4(5.7n^2 - 1985) = k^2   =>
36n^2 - 140n^2 + 4.1985 = k^2   =>
4.1985 - 104n^2 = k^2

se n = 0   =>   k^2 = 4.1985   que não possui solução inteira
se n = 1   =>   k^2 = 7836   que não possui solução inteira
se n = 2   =>   k^2 = 7524   que não possui solução inteira
se n = 3   =>   k^2 = 7004   que não possui solução inteira
se n = 4   =>   k^2 = 6276   que não possui solução inteira
se n = 5   =>   k^2 = 5340   que não possui solução inteira
se n = 6   =>   k^2 = 4196   que não possui solução inteira
se n = 7   =>   k^2 = 2844   que não possui solução inteira
se n = 8   =>   k^2 = 1284   que não possui solução inteira
se n >= 9   =>   k^2 < 0   que não possui solução inteira

Desta forma a equação proposta não possui soluções inteiras.


Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira




>      Um abraço
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>Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
>O administrador desta lista é <nicolau@mat.puc-rio.br>
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