Re: [obm-l] treino para olimpíadas....

["marcelo oliveira" <marcelo_rufino@xxxxxxxxxxx>]

>
>1)se x+y+z=1, com x,y,z positivos,  prove que o<=xy+yz+zx-2xyz<=7/27.

>2)Seja c comprimento da hipotenusa de um triangulo retangulo cujos catetos
>são a e b. Prove que a+b<=(sqrt2)*c

A desigualdade de Cauchy garante que  (a + b)^2 <= 2(a^2 + b^2)
Como  a^2 + b^2 = c^2  temos que  (a + b)^2 <= 2c^2   =>
a + b <= (sqrt 2).c


>3)Mostre que para cada inteiro positivo n, 121^n-25^n+1900^n-(-4)^n é
>divisível por 2000.

Note inicialmente que  2000 = 2^4.5^3.

i) 1900 == - 4 (mod. 2^4)   =>   1900^n == (- 4)^n (mod. 2^4)   =>
1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4)
ii) 121 == 25 (mod. 2^4)   =>   121^n == 25^n (mod. 2^4)   =>
121^n - 25^n == 0 (mod. 2^4)
Somando estas congruências:
121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4)   (*)

iii) 1900 == 25 (mod. 5^3)   =>   1900^n == 25^n (mod. 5^3)   =>
1900^n - 25^n == 0 (mod. 5^3)
iv) 121 == - 4 (mod. 5^3)   =>   121^n == (- 4)^n (mod. 5^3)   =>
121^n - (- 4)^n == 0 (mod. 5^3)
Somando estas congruências:
121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 5^3)   (**)

Como mdc (2^4, 5^3) = 1 então podemos transformar as congruências (*) e (**) 
em:  121^n - 25^n + 1900^n - (- 4)^n == 0 (mod. 2^4.5^3)

>4) resolva a equação (x-4,5)^4+(x-5,5)^4=1.

Não entendi !!!???
x-4,5  significa (2x - 9)/2  ou  o número complexo x - 4 + 5.i ???

>5)Seja n um número natural tal que n>=2. Mostre que ,
>(1/n+1)*(1+1/3+.....+1/(2n-1)>(1/n)*(1/2+1/4+...1/2n).
>         Obrigado!!!!


Até mais,
Marcelo Rufino de Oliveira

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