Comprimento da Espiral Equiangular

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxx>]

Bue�as!

    Resolvi parametrizar a espiral equiangular sozinho, no bra�o. Achei
que suas equa��es seriam

x = Rcos^n(t)cos(nt)
y = Rcos^n(t)sen(nt)

    onde R � o raio da circunfer�ncia original, t � o �ngulo formado
entre OP[n] e OP[n+1].

    Todavia, quando fui calcular o comprimento com N de zero a infinito,
cheguei na s�rie
somat�rio(cos^n(t)/n), n= 1, 2.. infinito.
    pretendia achar algo em fun��o de t e depois fazer o limite quando t
->zero, s� que ainda n�o consegui calcular o valor da s�rie. Vale
lembrar que 0<t<pi/2.

    Para quem n�o sabe o que � a espiral equiangular e/ou n�o entendeu
minhas conven��es, fiz a constru��o assim:

Seja C um c�rculo de centro O e raio R;
Construa um �ngulo inscrito QOP[0] = t;
Construa v�rios angulos seguidos, no sentido trigonom�trico, todos
iguais a t;
Marque P[1] como o p� da perpendicular baixada de P[0] em rela��o a OQ;
Repita o processo sendo P[n+1] o p� da perpendicular baixada de P[n] em
rela��o a OP[n+1].

Para facilitar a visualiza��o, anexo uma figura em formato wmf, como fig
de texto do word num arquivo rtf e, para quem tem no formato do Cabri e
no do SketchPad. Ainda para esses, vale a pena pedir o Locus de cada
P[n] quando P[0] ou Q se movem. Note que cada programa faz uma figura
diferente %=O

[]'s

Alexandre Tessarollo

OBS:
P[n] leia-se "P �ndice n";
cos^n(t) leia-se "n-�sima pot�ncia de cosseno de t"
sen(nt) leia-se "seno do produto n vezes t"

EspEquiang.zip