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Re: geometrias & triângulo com mais de 180o?




    Como alguns devem saber, Euclides foi o primeiro a formalizar a geometria e,
para tanto, usou alguns axiomas (ou postulados) para provar cada teorema.
(Axioma é algo que não pode ser provado e que o bom senso diz ser verdadeiro. Um
exemplo de axioma seria o de que "por dois pontos distintos passa uma e somente
uma reta")

    Várias geometrias foram construídas ao longo dos tempos, excluindo um ou
outro axioma. Em geral, devido a sua não-obviedade, o primeiro axioma a ser
excluído era o das paralelas (dados uma reta r e uma ponto P não pertencente a
r, existe um e somente uma reta paralela a r que passa por P). Assim surgiram as
geometrias não-euclidianas, com várias aplicações teóricas e algumas práticas.
Resumidamente, são classificadas de acordo com a soma dos ângulos internos de um
triângulo: maior que 180 ou menor que 180.

    A geometria esférica (ou da esfera de Rienman) é aquela onde as retas são os
círculos máximos, isto é, de centro no centro da esfera e raio até um ponto
desta. Com tais retas, pode-se construir um triângulo com três (!!) ângulos
retos. Imagine o meridiano de Greenwich, o de 90 graus e o equador. Se
necessário, pegue um globo terrestre. É fácil ver que o V postulado (o axioma
das paralelas escrito por Euclides) não vale nessa geometria.

    A geometria do Plano de Poincaré (é essa a geometria elíptica?)  toma a
região do plano cartesiano onde y>0 e adota como retas x = k e arcos de
circunferências centradas no eixo x e com raios quaisquer. Pode parecer estranho
à primeira vista (e realmente é), mas, assim, vc pode construir um triângulo com
menos de 180.

    Já a geometria Euclidiana foi reescrita por alguns, como por exemplo por
Legendre. Legendre resolveu adotar outros postulados para construir a mesma
geometria de Euclides. Contudo, ao tentar provar o V postulado, ele cometeu um
erro de raciocínio que passou indetectado por anos. Isto é, todos sabiam que
haviam um erro na argumentação dele, mas não conseguiam achá-lo. Quem tiver
acesso, vale a pena dar uma olhada nos livros dele.

    Espero ter sido de alguma ajuda e/ou esclarecimento e espero também que
alguém me corrija se tiver falado umas besteirinhas... :-)

[]'s

Alexandre Tessarollo

PS: Villard, vc deve (ou pelo menos deveria) estar vendo estas noções (e não o
estudo aprofundado) em Geometria I com a Walcy. Estudo de geometrias
não-euclidianas MESMO, só em Geometria II, que é eletiva. A propósito, bem
vindo, calouro. Abraços do seu veterano.. hehe

Rodrigo Villard Milet wrote:

> Sim ! Se você tiver soma dos ângulos internos igual a 180, com certeza está
> presente o axioma das paralelas !
>  ¡ Villard !
> -----Mensagem original-----
> De: Rogerio Fajardo <rogeriofajardo@hotmail.com>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Segunda-feira, 9 de Abril de 2001 11:40
> Assunto: Re: triângulo com mais de 180o?
>
> >
> >Isso significa que poderíamos substituir o axioma das paralelas pelo
> >axioma: "Existe um triângulo em que a soma dos ângulos é 180°"? Isto é,
> >a existência de um triângulo cuja soma dos ângulos é 180° implica o axioma
> >das paralelas e, consequentemente, que em todos os triângulos a soma dos
> >ângulos é 180°?
> >
> >>From: "Antonio" <asnasc@momentus.com.br>
> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Subject: Re: triângulo com mais de 180o?
> >>Date: Sun, 8 Apr 2001 18:46:03 -0300
> >>
> >>     Até onde eu saiba, em geometrias não euclidianas, a soma dos ângulos
> >>do
> >>triângulo pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus.
> >>     Mas como esta não é minha especialidade, deixo para os mestres da
> >>lista
> >>comentarem mais o assunto!
> >>
> >>----- Original Message -----
> >>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
> >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Sent: Sunday, April 08, 2001 1:14 AM
> >>Subject: Re: triângulo com mais de 180o?
> >>
> >>
> >> > A soma dos ângulos internos de um triângulo só é 180 graus na geometria
> >> > euclidiana. Explicanco melhor : Se você verificar que a soma dos
> ângulos
> >> > internos de um triângulo é 180, você só pode estar trabalhando com a
> >> > geometria euclidiana. De fato, num triânguo esférico, a soma dos
> ângulos
> >> > internos do triângulo é > 180 graus. Mas esse triângulo não é definido
> >>na
> >> > geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma dos angulos
> é
> >>180
> >> > decorre do axioma das paralelas, que só é definido na geo euclidiana.
> >> >  Certamente, se você considerar uma geometria na superfície de uma
> >>esfera,
> >> > onde as retas são os grandes círculos, note que PAB será um triângulo
> >>sim.
> >> > Mas como nessa geometria não vale o axioma das paralelas, não podemos
> >> > afirmar nada sobre a soma dos ângulos (só q ela é  > 180).
> >> >  Abraços,
> >> >  ¡Villard!
> >> > -----Mensagem original-----
> >> > De: vinicius <rachador@mailbr.com.br>
> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> > Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55
> >> > Assunto: triângulo com mais de 180o?
> >> >
> >> >
> >> > >considerem a forma esférica da Terra. tracemos duas linhas de seu
> >>extremo
> >> > >superior ou inferior (pólo norte ou pólo sul) - ponto P - até dois
> >>pontos
> >> > >distintos pertencentes à linha do Equador - pontos A e B. PAB pode ser
> >> > >considerado um triângulo? se a resposta for afirmativa, este triângulo
> >> > >possuirá soma interna de seus ângulos maior que 180o. isto está de
> >>acordo
> >> > >com a definição de triângulo?
> >> > >
> >> > >
> >> >
> >> >
> >>
> >
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