Re: geometrias & tri�ngulo com mais de 180o?

[Alexandre Tessarollo <tessa@xxxxxxxx>]

    Como alguns devem saber, Euclides foi o primeiro a formalizar a geometria e,
para tanto, usou alguns axiomas (ou postulados) para provar cada teorema.
(Axioma � algo que n�o pode ser provado e que o bom senso diz ser verdadeiro. Um
exemplo de axioma seria o de que "por dois pontos distintos passa uma e somente
uma reta")

    V�rias geometrias foram constru�das ao longo dos tempos, excluindo um ou
outro axioma. Em geral, devido a sua n�o-obviedade, o primeiro axioma a ser
exclu�do era o das paralelas (dados uma reta r e uma ponto P n�o pertencente a
r, existe um e somente uma reta paralela a r que passa por P). Assim surgiram as
geometrias n�o-euclidianas, com v�rias aplica��es te�ricas e algumas pr�ticas.
Resumidamente, s�o classificadas de acordo com a soma dos �ngulos internos de um
tri�ngulo: maior que 180 ou menor que 180.

    A geometria esf�rica (ou da esfera de Rienman) � aquela onde as retas s�o os
c�rculos m�ximos, isto �, de centro no centro da esfera e raio at� um ponto
desta. Com tais retas, pode-se construir um tri�ngulo com tr�s (!!) �ngulos
retos. Imagine o meridiano de Greenwich, o de 90 graus e o equador. Se
necess�rio, pegue um globo terrestre. � f�cil ver que o V postulado (o axioma
das paralelas escrito por Euclides) n�o vale nessa geometria.

    A geometria do Plano de Poincar� (� essa a geometria el�ptica?)  toma a
regi�o do plano cartesiano onde y>0 e adota como retas x = k e arcos de
circunfer�ncias centradas no eixo x e com raios quaisquer. Pode parecer estranho
� primeira vista (e realmente �), mas, assim, vc pode construir um tri�ngulo com
menos de 180.

    J� a geometria Euclidiana foi reescrita por alguns, como por exemplo por
Legendre. Legendre resolveu adotar outros postulados para construir a mesma
geometria de Euclides. Contudo, ao tentar provar o V postulado, ele cometeu um
erro de racioc�nio que passou indetectado por anos. Isto �, todos sabiam que
haviam um erro na argumenta��o dele, mas n�o conseguiam ach�-lo. Quem tiver
acesso, vale a pena dar uma olhada nos livros dele.

    Espero ter sido de alguma ajuda e/ou esclarecimento e espero tamb�m que
algu�m me corrija se tiver falado umas besteirinhas... :-)

[]'s

Alexandre Tessarollo

PS: Villard, vc deve (ou pelo menos deveria) estar vendo estas no��es (e n�o o
estudo aprofundado) em Geometria I com a Walcy. Estudo de geometrias
n�o-euclidianas MESMO, s� em Geometria II, que � eletiva. A prop�sito, bem
vindo, calouro. Abra�os do seu veterano.. hehe

Rodrigo Villard Milet wrote:

> Sim ! Se voc� tiver soma dos �ngulos internos igual a 180, com certeza est�
> presente o axioma das paralelas !
>  � Villard !
> -----Mensagem original-----
> De: Rogerio Fajardo <rogeriofajardo@hotmail.com>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> Data: Segunda-feira, 9 de Abril de 2001 11:40
> Assunto: Re: tri�ngulo com mais de 180o?
>
> >
> >Isso significa que poder�amos substituir o axioma das paralelas pelo
> >axioma: "Existe um tri�ngulo em que a soma dos �ngulos � 180�"? Isto �,
> >a exist�ncia de um tri�ngulo cuja soma dos �ngulos � 180� implica o axioma
> >das paralelas e, consequentemente, que em todos os tri�ngulos a soma dos
> >�ngulos � 180�?
> >
> >>From: "Antonio" <asnasc@momentus.com.br>
> >>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Subject: Re: tri�ngulo com mais de 180o?
> >>Date: Sun, 8 Apr 2001 18:46:03 -0300
> >>
> >>     At� onde eu saiba, em geometrias n�o euclidianas, a soma dos �ngulos
> >>do
> >>tri�ngulo pode ser tanto menor qto maior do que 180 graus.
> >>     Mas como esta n�o � minha especialidade, deixo para os mestres da
> >>lista
> >>comentarem mais o assunto!
> >>
> >>----- Original Message -----
> >>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
> >>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >>Sent: Sunday, April 08, 2001 1:14 AM
> >>Subject: Re: tri�ngulo com mais de 180o?
> >>
> >>
> >> > A soma dos �ngulos internos de um tri�ngulo s� � 180 graus na geometria
> >> > euclidiana. Explicanco melhor : Se voc� verificar que a soma dos
> �ngulos
> >> > internos de um tri�ngulo � 180, voc� s� pode estar trabalhando com a
> >> > geometria euclidiana. De fato, num tri�nguo esf�rico, a soma dos
> �ngulos
> >> > internos do tri�ngulo � > 180 graus. Mas esse tri�ngulo n�o � definido
> >>na
> >> > geometria plana euclidiana. Note que a prova de que a soma dos angulos
> �
> >>180
> >> > decorre do axioma das paralelas, que s� � definido na geo euclidiana.
> >> >  Certamente, se voc� considerar uma geometria na superf�cie de uma
> >>esfera,
> >> > onde as retas s�o os grandes c�rculos, note que PAB ser� um tri�ngulo
> >>sim.
> >> > Mas como nessa geometria n�o vale o axioma das paralelas, n�o podemos
> >> > afirmar nada sobre a soma dos �ngulos (s� q ela �  > 180).
> >> >  Abra�os,
> >> >  �Villard!
> >> > -----Mensagem original-----
> >> > De: vinicius <rachador@mailbr.com.br>
> >> > Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >> > Data: Domingo, 8 de Abril de 2001 00:55
> >> > Assunto: tri�ngulo com mais de 180o?
> >> >
> >> >
> >> > >considerem a forma esf�rica da Terra. tracemos duas linhas de seu
> >>extremo
> >> > >superior ou inferior (p�lo norte ou p�lo sul) - ponto P - at� dois
> >>pontos
> >> > >distintos pertencentes � linha do Equador - pontos A e B. PAB pode ser
> >> > >considerado um tri�ngulo? se a resposta for afirmativa, este tri�ngulo
> >> > >possuir� soma interna de seus �ngulos maior que 180o. isto est� de
> >>acordo
> >> > >com a defini��o de tri�ngulo?
> >> > >
> >> > >
> >> >
> >> >
> >>
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