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Olá Marcelo!
Segue
demonstrações para as relações.
Sejam p e q
números inteiros quaisquer:
( i ) Se a|b, então a+c|b+c
a|b <=> b = ap.(I)
a+c|b+c <=> b+c = (a+c)q.(II)
substituindo b e ( I ) em ( II ), vem
ap + c = (a+c).q ;
aqui a+c|ap+c e não b+c,como queríamos; a relação
é falsa.
( ii ) Se a|b, então ac|bc
a|b <=> b = a.p. (I)
ac|bc
<=> bc = ac.q. (II)
substituindo (I) em (II),
vem
apc =
acq
daí, p = q e de (II)
bc = acp vemos que ac|bc, o que torna a relação
verdadeira.
( iii ) Se a|b, então (-b)|(-a).
a|b<=> b =
ap(I)
(-b)|(-a)<=> -a = -bq => a = bq. (II)
substituindo (II) em (I),
vem
b = bqp,
aí pq = 1 e q inverso de p, como p é inteiro, a
relação torna-se falsa
( iv ) Se a|b+c, então a|b ou a|c
a|b <=> b =
ap. (I)
a|c<=>
c = aq. (II)
somando (I) e (II), temos: b+c = ap +aq => b+c = a(p+q),
como p+q é inteiro, a|b+c, o que torna a relação
verdadeira.
Até breve,
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