Re: Divisibilidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 19 Jun 2000, Augusto Morgado wrote:

> Marcelo Souza wrote:
> > 
> > As proposições falsas só podem ser demontradas com contra-exemplos? Fiz
> > demonstrações gerais e gostaria de corrigí-las, se houvesse algum erro.
> > 
[omitindo material muito velho]

> Marcelo:
> Muito raramente uma proposição que não é verdadeira é sempre falsa.
> Por exemplo, você está farto de saber que não é verdade que
> (a+b)^2=a^2+b^2. Mas isso não significa que se tenha sempre (a+b)^2
> diferente de a^2+b^2. Se b for zero, por exemplo, eles são iguais.
> Por isso, os matemáticos preferem os contraexemplos para mostrar que
> certas proposições são falsas.
> Você pode fazer "literalmente", mas isso em geral só serve para
> complicar.
> Morgado
> 

Tudo o que o Morgado diz é corretíssimo. Gostaria só de complementar
que existem algumas situações complicadas nas quais é mais fácil
demonstrar que certa propriedade não vale sempre do que exibir
um contra-exemplo. O melhor exemplo que me ocorre agora é o de
número normal. Um número real é n-normal se, examinando sua expansão
na base n após a vírgula, a proporção de cada algarismo for
a mesma (no limite). Um número é dito normal se for normal
em qualquer base inteira n, n > 1. Não é difícil demonstrar que
existem números normais (na verdade, quase todo número real é normal).
É provável que a maioria dos irracionais que você conhece,
como Pi, e, sqrt(2), sejam normais mas ninguém sabe demonstrar
nada disso (tanto quanto eu saiba).  Aliás, não se conhece até hoje
nenhum exemplo razoavelmente simples de número normal.

[]s, N.