Re: Divisibilidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 19 Jun 2000, Augusto Morgado wrote:

> Marcelo Souza wrote:
> > 
> > As proposi��es falsas s� podem ser demontradas com contra-exemplos? Fiz
> > demonstra��es gerais e gostaria de corrig�-las, se houvesse algum erro.
> > 
[omitindo material muito velho]

> Marcelo:
> Muito raramente uma proposi��o que n�o � verdadeira � sempre falsa.
> Por exemplo, voc� est� farto de saber que n�o � verdade que
> (a+b)^2=a^2+b^2. Mas isso n�o significa que se tenha sempre (a+b)^2
> diferente de a^2+b^2. Se b for zero, por exemplo, eles s�o iguais.
> Por isso, os matem�ticos preferem os contraexemplos para mostrar que
> certas proposi��es s�o falsas.
> Voc� pode fazer "literalmente", mas isso em geral s� serve para
> complicar.
> Morgado
> 

Tudo o que o Morgado diz � corret�ssimo. Gostaria s� de complementar
que existem algumas situa��es complicadas nas quais � mais f�cil
demonstrar que certa propriedade n�o vale sempre do que exibir
um contra-exemplo. O melhor exemplo que me ocorre agora � o de
n�mero normal. Um n�mero real � n-normal se, examinando sua expans�o
na base n ap�s a v�rgula, a propor��o de cada algarismo for
a mesma (no limite). Um n�mero � dito normal se for normal
em qualquer base inteira n, n > 1. N�o � dif�cil demonstrar que
existem n�meros normais (na verdade, quase todo n�mero real � normal).
� prov�vel que a maioria dos irracionais que voc� conhece,
como Pi, e, sqrt(2), sejam normais mas ningu�m sabe demonstrar
nada disso (tanto quanto eu saiba).  Ali�s, n�o se conhece at� hoje
nenhum exemplo razoavelmente simples de n�mero normal.

[]s, N.