Mais Questões de Teoria dos Números!

[Sistema ELITE de Ensino - Unidade Belém <titular@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Valeu Ralph pelas resoluções, a um certo tempo estava "engatado" nestas
questões. Tenho mais algumas questões de Teoria dos Números que ainda não
consegui fazer. As que estou mandando agora são do banco de questões da IMO
de 1990. Acredito que sejam bastante interessantes.

1) Para um inteiro positivo k, seja f[1](k) a soma dos quadrados dos dígitos
de k, e seja f[n + 1](k) = f[1](f[n](k) ). Determine o valor de
f[1991](2^1990).
Obs: f[i] significa f índice i

2) Prove que todo inteiro k >1 possui um múltiplo positivo que é menor que
k^4 e que pode ser escrito em sua representação decimal com no máximo 4
dígitos distintos.

3) Determine todos os números naturais n para os quais todo número natural
cuja representação decimal possui n - 1 dígitos 1 e um dígito 7 é primo.
Obs: Eu procurei traduzir do inglês esta questão fielmente como estava
escrito, note que o enunciado fala em possuir n - 1 dígitos 1, e não
"exatamente" n - 1 dígitos 1. Será que dá para considerar que são "pelo
menos" n - 1 dígitos 1?

4) Seja  f(0) = f(1) = 0  e  f(n + 2) = (4^(n+2)).f(n+1) - (16^(n+1)).f(n) +
n.2^(n^2), n = 0, 1, 2, 3, ... . Mostre que os números  f(1989), f(1990),
f(1991) são divisíveis por 13.

Esta última parece ser mais de seqüências do que de Teoria dos Números, mas
parece que é muito interessante e envolve divisibilidade por 13.

Até mais e boa sorte.