Re: Curiosidade

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, 14 May 2000, bene@digi.com.br wrote:

>        Curiosidades:
> 
> 1) No plano, existem  3  vezes mais tri�ngulos obtusos do que tri�ngulos 
> acut�ngulo!!
> 
> O matem�tico canadense, Richard K. Guy  (j� falecido, se n�o me 
> engano)  provou este fato em  1963 (Ver Mathematics Magazine, junho, pg. 175).
> 
> Algu�m conhece uma outra demonstra��o?
> 
> 2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante 
> colocado em  1893 por Lewis Carroll (pseud�nimo do pastor ingl�s Charles 
> Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de  "Alice no Pa�s das Maravilhas"):
>   "Se tr�s pontos s�o escolhidos aleatoriamente, qual � a probabilidade 
> desses pontos serem v�rtices de um tri�ngulo obtus�ngulo?"
> Algu�m se habilita?  Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2

Acho que estes dois problemas est�o formulados de forma incompleta.
O que significa tomar tr�s pontos "aleatoriamente" no plano?
Para dar sentido a esta express�o, � preciso dizer que probabilidade
� associada aos eventos fundamentais: isto � o que se chama
dar a medida de probabilidade do problema.
Qual �, por exemplo, a probabilidade de que um ponto do plano escolhido
ao acaso esteja no quadrado [0,1]x[0,1]?

Note que em muitos problemas de probabilidade existe uma �nica medida
poss�vel, ou pelo menos existe uma medida "natural", "�bvia pelo contexto".
Por exemplo, se eu digo: "Jogamos tr�s dados, qual a probabilidade de que
a soma dos pontos seja um n�mero primo?" est� impl�cito que s�o tr�s
dados de seis faces numeradas 1, 2, 3, 4, 5, 6; que as 6 faces s�o
equiprov�veis; que os tr�s dados s�o independentes.
J� no caso da sua pergunta, n�o acho nada �bvio qual seja a medida
de probabilidade envolvida.

No meu artigo da Eureka 1, "Como perder amigos e enganar pessoas",
(dispon�vel tamb�m em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/bom.tar.gz
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/papers/bom.ps.gz
leia as explica��es do que fazer com estes arquivos na home page)
eu discuto 4 problemas enganosos de probabilidade.
O 4o tem tudo a ver com esta quest�o de medidas de probabilidades
n�o t�o �bvias. Eu transcrevo:

4. Aqui novamente devemos nos imaginar em um programa
de audit�rio. Eug�nio foi sorteado e tem direito a um pr�mio
mas ele deve escolher entre dois envelopes lacrados aparentemente iguais.
O apresentador informa que cada envelope tem um cheque e que o valor
de um cheque � o dobro do outro, mas n�o diz nada sobre o valor dos cheques
nem indica qual envelope contem o cheque de maior valor.
Eug�nio escolhe e abre um envelope
que contem um cheque de, digamos, R$ 100.
Neste momento o apresentador sempre faz uma proposta ao convidado:
ele pode trocar de envelope mediante uma ``multa'' de 5%
do valor do cheque que ele tem em m�os---no caso, R$ 5.
Assim, se Eug�nio aceitar ele pode ganhar R$ 45
(se o cheque no segundo envelope for de R$ 50)
ou R$ 195 (se o outro cheque for de R$ 200).
Suponhamos que Eug�nio
(que fez um curso de Introdu��o � Probabilidade no per�odo anterior)
queira maximizar o valor esperado de seu pr�mio: deve ele aceitar a troca?
E se o valor do primeiro cheque tivesse sido outro,
de que forma deveria isto influenciar a decis�o de Eug�nio?
Se Eug�nio trocar de envelope independentemente do valor do cheque
n�o vale mais a pena para ele trocar de envelope antes de abrir,
evitando assim a multa?

Sugiro que pensem no problema antes de ler o resto do artigo.

[]s, N.