Re: Curiosidade

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

>From: "bene@digi.com.br" <bene@digi.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Curiosidade
>Date: Sun, 14 May 2000 16:26:30 -0300
>
>       Curiosidades:
>
>1) No plano, existem  3  vezes mais triângulos obtusos do que triângulos 
>acutângulo!!
>
>O matemático canadense, Richard K. Guy  (já falecido, se não me engano)  
>provou este fato em  1963 (Ver Mathematics Magazine, junho, pg. 175).
>
>Alguém conhece uma outra demonstração?
>
>2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante 
>colocado em  1893 por Lewis Carroll (pseudônimo do pastor inglês Charles 
>Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de  "Alice no País das Maravilhas"):
>  "Se três pontos são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade 
>desses pontos serem vértices de um triângulo obtusângulo?"
>Alguëm se habilita?  Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2
>
>3) Qual a probabilidade de se escolher 4  números  dentre os elementos do 
>conjunto  {1,2,3, ...,99}  de modo que a soma seja divisível  por 3?

Se pudermos repetir os números, a probabilidade vai ser 1/3.
Se não pudermos, acho que a análise vai ficar um pouco difícil, pois veja 
que temos que contar todas as possibilidades de ocorrência de soma múltipla 
de 3. Por exemplo: probabilidade de os 4 números serem múltiplos de 3 = 
(33/99)*(32/98)*(31/97)*(30/96); depois teremos que contar as possibilidades 
de 1 número ser multiplo de 3 e os outros 3 múltiplos de 3 mais 1 = 
4*(33/99)*(33/98)*(32/97)*(31/96);... e assim por diantes, analisando os 
restos:
i.   {0,0,0,0} -  Combinacao(4;0,4) = 1
ii.  {0,1,1,1} -  Combinacao(4;1,3) = 4
iii. {0,2,2,2) -  Combinacao(4;1,3) = 4
iv.  {0,0,1,2) -  Combinacao(4;1,1,2) = 12
v.   {1,1,2,2) -  Combinacao(4;2,2) = 6
Onde, claro, 1+4+4+12+6=27, e como há 81 possibilidades, 27/81=1/3.
[ ps. onde admito que Combinacao(N;a,...,w)=N!/(a!...w!), e N=a+...+w ]
O cálculo das probabilidades fica:
P(i) = 1*(33*32*31*30)/(99*98*97*96)
P(ii) = 4*(33*33*32*31)/(99*98*97*96)
P(iii) = 4*(33*33*32*31)/(99*98*97*96)
P(iv) = 12*(33*32*33*33)/(99*98*97*96)
P(v) = 6*(33*32*33*32)/(99*98*97*96)
Daí P = P(i) + P(ii) + P(iii) + P(iv) + P(v)
      = (982080+4321152+4321152+13799808+6690816)/(99*98*97*96)
      = 1/3
Acabou ficando a mesma resposta... não sei o por que, alguém explica?

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>Benedito Freire
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