Re: Curiosidade

[Eduardo Wagner <wagner@xxxxxxx>]

>On Mon, 15 May 2000, Nicolau C. Saldanha wrote:
>
>> On Sun, 14 May 2000, bene@digi.com.br wrote:
>>
>> >        Curiosidades:
>> >
>> > 1) No plano, existem  3  vezes mais triângulos obtusos do que triângulos
>> > acutângulo!!
>> >
>> > O matemático canadense, Richard K. Guy  (já falecido, se não me
>> > engano)  provou este fato em  1963 (Ver Mathematics Magazine, junho,
>>pg. 175).
>> >
>> > Alguém conhece uma outra demonstração?
>> >
>> > 2) No artigo citado, Richard K. Guy menciona um problema interessante
>> > colocado em  1893 por Lewis Carroll (pseudônimo do pastor inglês Charles
>> > Lutwidge Dogson (1832-1898), autor de  "Alice no País das Maravilhas"):
>> >   "Se três pontos são escolhidos aleatoriamente, qual é a probabilidade
>> > desses pontos serem vértices de um triângulo obtusângulo?"
>> > Alguëm se habilita?  Em tempo: resposta (3pi/8pi-6pi(3)^1/2
>>
>> Acho que estes dois problemas estão formulados de forma incompleta.
>> O que significa tomar três pontos "aleatoriamente" no plano?
>> Para dar sentido a esta expressão, é preciso dizer que probabilidade
>> é associada aos eventos fundamentais: isto é o que se chama
>> dar a medida de probabilidade do problema.
>> Qual é, por exemplo, a probabilidade de que um ponto do plano escolhido
>> ao acaso esteja no quadrado [0,1]x[0,1]?
>
>Depois de responder, notei que não apenas o enunciado é incompleto
>mas os dois enunciados se contradizem. De acordo com o item (1),
>a resposta do item (2) deveria ser 3/4 e não a expressão complicada,
>aliás com parêntesis descasados, que aparece no item (2).
>
>De qualquer forma, encontrei uma interpretação que me pareceu satisfatória
>para obter a resposta do item (a). Se tomamos três pontos ao acaso
>no círculo unitário (a curva apenas, não o disco) então a probabilidade
>de obtermos um triângulo acutângulo é realmente 1/4.
>A demonstração não é difícil.
>
>Na figura, podemos supor sem perda de generalidade os dois primeiros
>pontos A e B simétricos em relação ao eixo horizontal, como indicado.
>Se o ângulo entre o eixo horizontal e o raio OA é alfa,
>>então o ponto C precisa cair em um arco de tamanho (2 * alfa)
>(marcado em vermelho na figura) para que o triângulo ABC seja acutângulo.
>Como alfa assume um valor aleatório entre 0 e (pi/2),
>não é difícil concluir que a probabilidade de que ABC seja acutângulo
>é 1/4.
>
>Se tomarmos A, B, C aleatoriamente em outro sentido
>(por exemplo, pontos aleatórios em um disco)
>a resposta provavelmente será outra.
>
>[]s, N.
>

Aos curiosos, vejam uma outra solucao e um interessante generalizacao
na RPM 42, pagina 57.
W.