Questão f(g(x))=g(x) PARTE 2

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

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> > Obter uma função f:R*--R tq
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> >              f((1-x))=f((1-x)/x)
> >
> > Antecipadamente grato.

	Neste caso específico, há uma mágica que facilita a expressão da
resposta. A resposta (equivalente à resposta da PARTE 1) é:

	"Comece com qualquer função periódica que tenha período 1, digamos,
h(x), definida de R* em R (como h não está definida em 0, podemos ter
h(-3)=h(-2)=h(-1)<>h(1)=h(2)=h(3)=...). Então f(x)=g(1/x) satisfaz

	f(1-x)=f((1-x)/x)

	Mais ainda, este processo descreve *TODAS* as funções dessa forma."

PROVA:

i) Se h(x)=h(x-1) para qualquer x <>0,1 e h:R*->R, então f(x)=h(1/x) é
definida de R* em R e

	f(1-x)=h(1/(1-x))=h((1/(1-x))-1)=h(x/(1-x))=f((1-x)/x)

desde que x<>1 e 1/(1-x) <> 0,1, isto é, x<>0 ou 1 (OK!)

ii) Se f(x) satisfaz a condição indicada, então h(x)=f(1/x) está bem
definida de R* em R e

h(x+1)=f(1/(x+1))=f(1-(x/(x+1)))=f((1/(x+1))/(x/(x+1)))=f(1/x)=h(x)

desde que x<>-1 e 1/(x+1) <> 0,1, isto é, x<>0 ou -1 (OK!)

P.S.: Período 1 não quer dizer período *mínimo* 1, mas somente que
h(x+1)=h(x) quando x e x+1 estão no domínio de h.