Re: a!/b!=c!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, 21 May 1999, Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira wrote:

>       Sobre o fatorial e o plano real acho que,se o plano real referido nao
> for o analogo brasileiro do plano Cavallo,sua pergunta tem a ver com a
> funcao gama,definida por 
> gama(s)=integral de 0 ate' infinito de t^(s-1).e^(-s).
>    Para n natural,n!=gama(s),e a funcao gama permite estender n! para os
> reais positivos inicialmente,mas a formula gama(s+1)=s.gama(s) permite
> estender a funcao gama para uma funcao analitica definida em grande parte do
> plano complexo(de fato para uma funcao meromorfa definida no plano complexo
> todo),e ai,se interpretarmos n!=a!b! como gama(n+1)=gama(a+1)gama(b+1), a
> equacao passa a ter um continuo de solucoes,mas o problema perde seu 
> interesse original.

Já que o Gugu passou a me chamar de Saldanha, passarei a chamá-lo de
Moreira... :-)

A definição do Moreira é boa mas precisa de integrais.
Existe uma outra que precisa apenas de limites.
Observamos que (a+b)! = a! (a+1)(a+2)...(a+b)
Se a for muito maior do que b pedemos escrever
(a+b)! ~= a! a^b (onde =~ significa aproximadamente igual).
Se a é a parte inteira de x devemos ter
(x+n)! ~= (a+n)! (a+n)^(x-a),
onde a aproximação é melhor quanto maior for n.
Por outro lado claramente queremos que
(x+n)! = x! (x+1)(x+2)...(x+n)
Podemos agora definir x! para qualquer real x:
x! = lim ((a+n)! (a+n)^(x-a))/((x+1)(x+2)...(x+n)),
onde o limite é tomado quando n tende a infinito.

Esta definição coincide com a do Moreira;
fica como exercício calcular (1/2)!

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau