Probleminhas de Geometria

[Arconcher <arconcher@xxxxxxxxxxxxx>]

Aqui estão alguns probleminhas de Geometria:

01)Considere um triângulo equilátero ABC com seu incírculo, pontos de
tangência
D,E e F, respectivamente sobre BC,AC e AB. Seja P um ponto do menor arco
EF do in-
círculo. Sejam L,M e N as projeções ortogonais de P sobre os lados BC,AC
e AB, res-
pectivamente. Provar que:sqrt(PL)=sqrt(PM) + sqrt(PN). (Origem:olimpíada
alemã,final
de 1998).

02)(Teorema de Van Aubel)Seja ABC um triângulo qualquer.Sejam AD,BE e CF
cevianas
concorrentes em P.Prove que:AP/PD=AE/EC + AF/FB.(Comentário-um teorema
muito interes-
sante para ser usado com o Teorema de Ceva.)(Sugestão: por "áreas").

03)Considere um círculo C_1 de raio R.Seja A um ponto sobre a
circunferência de C_1.
Seja C_2 um círculo de centro A e raio r.Sejam B e C os pontos de
intersecção de C_1
com C_2.Seja C_3 um círculo de centro C e raio r (o mesmo de C_2).Seja P
o ponto de 
intersecção de C_2 e C_3 o qual é interior ao círculo C_1.Trace a reta
BP, a qual
corta C_1 em B e T. a)Prove que PT tem por medida R (a medida do raio de
C_1).
b)Fixado A sobre C_1 façamos C percorrer a circunferência de C_1.
Pede-se o lugar
geométrico do ponto P.(Comentários-a parte a) é relativamente fácil.
Para a parte
b) use o Cabri II antes de tentar provar.É claro que isso não é
necessário mas é
surpreendentemente belo o resultado!)

04)(Construção euclidiana)De um triângulo ABC são conhecidos três pontos
"interessan-
tes": M, o ponto médio de AB; N o ponto médio de AC e H o ortocentro do
triângulo.Pe-
de-se construir o triângulo com régua e compasso. (Comentário: é danado
de difícil.
Pertence a uma classe de problemas com enunciados semelhantes, alguns
dos quais ain-
da estão por resolver.Exemplo: tome para os três pontos interessantes os
três pontos
de intersecção das bissetrizes dos ângulos internos com os lados.)

05)Considere um triângulo ABC qualquer.Tome um ponto P no plano desse
triângulo.Marque
os segmentos orientados PA' equipolente a BA, PC' equipolente a AC e
PB'equipolente
a PB'.Mostre que os lados do triângulo A'B'C' têm por medidas os dobros
das medidas
das medianas do triângulo ABC.Prove que P é o baricentro do triângulo
A'B'C'.

Um abraço a todos!
Arconcher(Jundiaí-São Paulo)