Re: Probleminhas de Geometria

[Eduardo Wagner <wagner@xxxxxxx>]

Oi gente:

Aqui vao algumas solucoes dos problemas do Arconcher. Os problemas
sao bonitos e merecem nossa atencao. Vamos la.

4) Muito bonito.
	Considere o paralelogramo AHCD. O ponto D pode ser construido
Porque N eh medio de HD. O vertice A do triangulo eh a intersecao da reta
Perpendicular a MN tracada por H com a circunferencia de diametro MD.
Justificativa: observe que DA eh perpendicular a AB.

1) Seja h a altura do triangulo equilatero AEF. Sejam x, y e z as distancias
de P as retas EF, AB e AC, respectivamente. Eh claro que PL = x + h.
Usando semelhanca de triangulos se prova que x^2 = yz. Por outro lado,
Sabemos que x + y + z = h (a soma das distancias de um ponto interior a
um triangulo equilatero a seus lados eh igual a sua altura). Dai vem:
x = sqrt(yz)
2x = 2sqrt(yz)
2x + h = x + y + z + 2sqrt(yz)
x + h = y + z + 2sqrt(yz)
sqrt(x + h) = sqrt(y) + sqrt(z)
sqrt(PL) = sqrt(PN) + sqrt(PM)

2) Trace por B e C paralelas a AD, que cortam BE e CF em G e H
Respectivamente. Semelhancas de triangulos fornecem:
AP/GC = AE/EC
AP/HB = AF/FB
PD/GC = BD/BC
PD/HB = DC/BC
Dividindo a soma das duas primeiras pela soma das duas ultimas se
chega ao resultado.

5) Ha um pequeno engano na digitacao do enunciado.
	Fica imediatamente claro que o triangulo A'B'C' nao depende da
posicao de P. Ponha P = A e veja claramente que P eh o baricentro do
triangulo A'B'C' e que a area deste eh o triplo da area de ABC.

Abracos a todos.

		Wagner.