Re: Probleminhas de Geometria

[Arconcher <arconcher@xxxxxxxxxxxxx>]

Onofre wrote:
> 
> Arconcher, aqui vão algumas possíveis soluções para os seus problemas:
> 
> Problema 01:
> Faça x=sqrt(PL), y=sqrt(PM) e z=sqrt(PN). Então, devemos mostrar que x =
> y+z+2sqrt(yz)
> Se d =d(P,EF), então é fácil ver que d= sqrt(yz). De fato, basta mostrar
> que os triângulos NPK e KPM são semelhantes(K é o pé da altura de P sobre
> EF). Daí, como AEF é equilatero, y+z+d=altura de AEF = KL = x-d, donde
> x=y+z+2d, c.q.d.
> 
> Problema 02:
> VocÊ conhece o teorema de Menelaus? É só utilizá-lo duas vezes: uma no
> triÂngulo ADC (considerando B, P e E colineares) e outra no triângulo ABD
> (considerando C, P e F colineares). Ficamos com: BC.PD.AE=BD.AP.EC e
> BC.PD.AF=DC.AP.BF.
> Daí, (BD + DC)/BC=PD/AP(AE/EC + AF/FB)=1, e segue o resultado.
> 
> Problema 03:
> Primeiro, note que OP é perpendiculara AC (por simetria) e APC é
> equilátero. Isto resolve o item b, pois teremos <OPA=150°, de modo que o L.
> G. será a reunião dos dois arcos de 150° que subtendem OA.
> Para o item a, note que
> <TOC=2.<TBC = 2.<PBC = <PAC=60°;
> <COP=<COA/2=<CBA=x, donde <TOP=60°+ x.Além disso, <APB=<PBA=30°+ x.
> Logo, <TPO=60°+ x=<TOP, donde TP=OP=R.
> 
> Problema 04
> Este problema é da Iberoamericana. Eu a coloquei em
> http://lec.dc.ufc.br/~onofre/index.html
> Este é um site que estou desenvolvendo com coisas sobre olimpíadas.
> 
> Curiosidade: É possível construir ABC a partir dos pés das bissetrizes?!
> 
> Problema 05
> Tome os simetricos de A', B' e C' em relação a P(digamos, D, E e F,
> respectivamente).
> Note que os seis triângulos obtidos são todos congruentes a ABC. Daí,
> A'B'C' tem lados iguais ao dobro das medianas de ABC.
> 
> []'s. Onofre.
> 
> At 19:11 18/01/99 -0200, you wrote:
> >Aqui estão alguns probleminhas de Geometria:
> >
> >01)Considere um triângulo equilátero ABC com seu incírculo, pontos de
> >tangência
> >D,E e F, respectivamente sobre BC,AC e AB. Seja P um ponto do menor arco
> >EF do in-
> >círculo. Sejam L,M e N as projeções ortogonais de P sobre os lados BC,AC
> >e AB, res-
> >pectivamente. Provar que:sqrt(PL)=sqrt(PM) + sqrt(PN). (Origem:olimpíada
> >alemã,final
> >de 1998).
> >
> >02)(Teorema de Van Aubel)Seja ABC um triângulo qualquer.Sejam AD,BE e CF
> >cevianas
> >concorrentes em P.Prove que:AP/PD=AE/EC + AF/FB.(Comentário-um teorema
> >muito interes-
> >sante para ser usado com o Teorema de Ceva.)(Sugestão: por "áreas").
> >
> >03)Considere um círculo C_1 de raio R.Seja A um ponto sobre a
> >circunferência de C_1.
> >Seja C_2 um círculo de centro A e raio r.Sejam B e C os pontos de
> >intersecção de C_1
> >com C_2.Seja C_3 um círculo de centro C e raio r (o mesmo de C_2).Seja P
> >o ponto de
> >intersecção de C_2 e C_3 o qual é interior ao círculo C_1.Trace a reta
> >BP, a qual
> >corta C_1 em B e T. a)Prove que PT tem por medida R (a medida do raio de
> >C_1).
> >b)Fixado A sobre C_1 façamos C percorrer a circunferência de C_1.
> >Pede-se o lugar
> >geométrico do ponto P.(Comentários-a parte a) é relativamente fácil.
> >Para a parte
> >b) use o Cabri II antes de tentar provar.É claro que isso não é
> >necessário mas é
> >surpreendentemente belo o resultado!)
> >
> >04)(Construção euclidiana)De um triângulo ABC são conhecidos três pontos
> >"interessan-
> >tes": M, o ponto médio de AB; N o ponto médio de AC e H o ortocentro do
> >triângulo.Pe-
> >de-se construir o triângulo com régua e compasso. (Comentário: é danado
> >de difícil.
> >Pertence a uma classe de problemas com enunciados semelhantes, alguns
> >dos quais ain-
> >da estão por resolver.Exemplo: tome para os três pontos interessantes os
> >três pontos
> >de intersecção das bissetrizes dos ângulos internos com os lados.)
> >
> >05)Considere um triângulo ABC qualquer.Tome um ponto P no plano desse
> >triângulo.Marque
> >os segmentos orientados PA' equipolente a BA, PC' equipolente a AC e
> >PB'equipolente
> >a PB'.Mostre que os lados do triângulo A'B'C' têm por medidas os dobros
> >das medidas
> >das medianas do triângulo ABC.Prove que P é o baricentro do triângulo
> >A'B'C'.
> >
> >Um abraço a todos!
> >Arconcher(Jundiaí-São Paulo)
> >
Olá Professor Onofre!
Imprimi suas soluções e a seguir as lerei detalhadamente.
Obrigado pelo seu trabalho em providenciar soluções para os problemas
propostos. Acho
que todos nós esperamos que outras pessoas também participem dessa
página!
Quanto a construtibilidade do triângulo a partir dos pés das bissetrizes
tenho a seguin-
te informação:Revista Quantum,September/October 1994, página 54. Há um
pequeno artigo
do Prof.George Berzsenyi-Constructing triangles from three located
points(Of the 139
problems, 20 are still looking for a solution!)Esse é um deles. Escrevi
recentemente
ao Prof.George solicitante o atual status desses problemas. Como ele
acaba de se aposen-
tar e está de mudança ficou de me mandar informações assim que sua
biblioteca particu-
lar chegasse ao novo endereço.Pessoalmente não trabalhei nem um
pouquinho sobre o pro-
blema.
Um abraço,
Arconcher.