Re: Probleminhas de Geometria

[Onofre <farias@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Arconcher, aqui vão algumas possíveis soluções para os seus problemas:

Problema 01:
Faça x=sqrt(PL), y=sqrt(PM) e z=sqrt(PN). Então, devemos mostrar que x =
y+z+2sqrt(yz)
Se d =d(P,EF), então é fácil ver que d= sqrt(yz). De fato, basta mostrar
que os triângulos NPK e KPM são semelhantes(K é o pé da altura de P sobre
EF). Daí, como AEF é equilatero, y+z+d=altura de AEF = KL = x-d, donde
x=y+z+2d, c.q.d.

Problema 02:
VocÊ conhece o teorema de Menelaus? É só utilizá-lo duas vezes: uma no
triÂngulo ADC (considerando B, P e E colineares) e outra no triângulo ABD
(considerando C, P e F colineares). Ficamos com: BC.PD.AE=BD.AP.EC e
BC.PD.AF=DC.AP.BF. 
Daí, (BD + DC)/BC=PD/AP(AE/EC + AF/FB)=1, e segue o resultado.

Problema 03:
Primeiro, note que OP é perpendiculara AC (por simetria) e APC é
equilátero. Isto resolve o item b, pois teremos <OPA=150°, de modo que o L.
G. será a reunião dos dois arcos de 150° que subtendem OA.
Para o item a, note que 
<TOC=2.<TBC = 2.<PBC = <PAC=60°;
<COP=<COA/2=<CBA=x, donde <TOP=60°+ x.Além disso, <APB=<PBA=30°+ x. 
Logo, <TPO=60°+ x=<TOP, donde TP=OP=R.

Problema 04
Este problema é da Iberoamericana. Eu a coloquei em
http://lec.dc.ufc.br/~onofre/index.html
Este é um site que estou desenvolvendo com coisas sobre olimpíadas.

Curiosidade: É possível construir ABC a partir dos pés das bissetrizes?!

Problema 05
Tome os simetricos de A', B' e C' em relação a P(digamos, D, E e F,
respectivamente).
Note que os seis triângulos obtidos são todos congruentes a ABC. Daí,
A'B'C' tem lados iguais ao dobro das medianas de ABC.


[]'s. Onofre.

At 19:11 18/01/99 -0200, you wrote:
>Aqui estão alguns probleminhas de Geometria:
>
>01)Considere um triângulo equilátero ABC com seu incírculo, pontos de
>tangência
>D,E e F, respectivamente sobre BC,AC e AB. Seja P um ponto do menor arco
>EF do in-
>círculo. Sejam L,M e N as projeções ortogonais de P sobre os lados BC,AC
>e AB, res-
>pectivamente. Provar que:sqrt(PL)=sqrt(PM) + sqrt(PN). (Origem:olimpíada
>alemã,final
>de 1998).
>
>02)(Teorema de Van Aubel)Seja ABC um triângulo qualquer.Sejam AD,BE e CF
>cevianas
>concorrentes em P.Prove que:AP/PD=AE/EC + AF/FB.(Comentário-um teorema
>muito interes-
>sante para ser usado com o Teorema de Ceva.)(Sugestão: por "áreas").
>
>03)Considere um círculo C_1 de raio R.Seja A um ponto sobre a
>circunferência de C_1.
>Seja C_2 um círculo de centro A e raio r.Sejam B e C os pontos de
>intersecção de C_1
>com C_2.Seja C_3 um círculo de centro C e raio r (o mesmo de C_2).Seja P
>o ponto de 
>intersecção de C_2 e C_3 o qual é interior ao círculo C_1.Trace a reta
>BP, a qual
>corta C_1 em B e T. a)Prove que PT tem por medida R (a medida do raio de
>C_1).
>b)Fixado A sobre C_1 façamos C percorrer a circunferência de C_1.
>Pede-se o lugar
>geométrico do ponto P.(Comentários-a parte a) é relativamente fácil.
>Para a parte
>b) use o Cabri II antes de tentar provar.É claro que isso não é
>necessário mas é
>surpreendentemente belo o resultado!)
>
>04)(Construção euclidiana)De um triângulo ABC são conhecidos três pontos
>"interessan-
>tes": M, o ponto médio de AB; N o ponto médio de AC e H o ortocentro do
>triângulo.Pe-
>de-se construir o triângulo com régua e compasso. (Comentário: é danado
>de difícil.
>Pertence a uma classe de problemas com enunciados semelhantes, alguns
>dos quais ain-
>da estão por resolver.Exemplo: tome para os três pontos interessantes os
>três pontos
>de intersecção das bissetrizes dos ângulos internos com os lados.)
>
>05)Considere um triângulo ABC qualquer.Tome um ponto P no plano desse
>triângulo.Marque
>os segmentos orientados PA' equipolente a BA, PC' equipolente a AC e
>PB'equipolente
>a PB'.Mostre que os lados do triângulo A'B'C' têm por medidas os dobros
>das medidas
>das medianas do triângulo ABC.Prove que P é o baricentro do triângulo
>A'B'C'.
>
>Um abraço a todos!
>Arconcher(Jundiaí-São Paulo)
>