Re: Probleminha!!

[Arconcher <arconcher@xxxxxxxxxxxxx>]

Onofre wrote:
> 
> Pessoal,
> aí vai um problema pra quem gosta de geometria analítica, principalmente..e
> tem um bom senso de humor pra fazer umas continhas!! (Mas talvez exista uma
> solução simples). Tentei fazer as contas mas acabei desistindo! Na verdade
> é uma conjectura, ou um resultado que eu não conheça:
> 
> Considere um triângulo T de área S no espaço e o sistema de eixos
> ortogonais xyz. Sejam Tx, Ty e Tz as  projeções de T sobre os planos yz, xz
> e xy, repectivamente, tais que Tx, Ty e Tz tenham áreas Sx, Sy e Sz, respect.
> É verdade que S^2 = Sx^2 + Sy^2 + Sz^2 ??
> 
> Isto existe em algum lugar?? Se alguém puder me ajudar...agradecido!
> 
> Onofre.
As continhas estão aqui.
Seja OABC o triedro triretângulo que obtemos ao fazer as projeções
ortogonais do triângulo ABC, OA=a,OB=b e OC=c e S é a área do triângulo
ABC.
Seja T sobre AB com OT perpendicular a AB.Pelo teorema das três
perpendiculares
CT é perpendicular a AB também.Precisamos do cosseno do ângulo OTC.No
triângulo
retângulo OAB encontramos OT=ab/sqrt(a^2 + b^2).Agora no triângulo OCT
encontramos
CT=sqrt((ac)^2 + (bc)^2 + (ab)^2/ a^2 + b^2). Daí encontramos 
Sz=S.ab/sqrt((ac)^2 + (bc)^2 + (ab)^2)). Escrevendo,ciclicamente,
expressões
análogas para Sx e Sy chegamos rapidinho a sentença desejada.
Até mais,
Arconcher.