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Re: [obm-l] identidade binomial [era: RE: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)]

Consegui fazer algumas algo, não sei se ajuda...
primeiro a fórmula para uma sequência f(n), com f(n)=1 se n=0 e f(n)=0
se n diferente de zero, n natural.

informalmente é a seguinte sequencia
1,0,0,0,0,0,0,0......

analisando as diferenças é possível perceber um padrão podendo
escrever a sequencia usando formula de interpolação de newton ou então
cálculo simbolico
seja D o operador que faz Df(x)=f(x+1)-f(x) e potências sucessivas
D^n, aplicações sucessivas desse operador, podemos escrever qualquer
função f(n) como
f(n)=soma[k=0 até n] de c(n,k). D^kf(0)   [onde c(n,k) é o coeficiente
binomial n!/k!(n-k)!].
seja o operador E^k, que faz E^kf(x)=f(x+k), com k inteiro,
podemos escrever
D^kf(0) como
D^kf(0)=(E-1)^kf(0)=soma[t=0 até k] de c(k,t).(-1)(k-t) .E^Tf(0)
porém pela definição da sequência temos que f(n)=0 para todo n
diferente de 0 e f(0)=1, escrevemos então abrindo o primeiro termo do
somatório

soma[T=0 até k] de c(k,t).(-1)(k-t) .E^tf(0)=
=c(k,0).(-1)^(k).E^0f(0)+soma[t=0 até k] de c(k,t).(-1)(k-t) .E^tf(0)=
=(-1)^kf(0)+soma[t=0 até k] de c(k,t).(-1)(k-t) .E^Tf(0),=(-1)^k
porém como E^Tf(0) =0 para todo t diferente de zero, a segunda parte
da somatorio se anula, ficando
D^kf(0)=(-1)^k, como f(n) pode ser escrito pela interpoalção de newton
ficamos com
f(n)=soma[k=0 até n] de c(n,k). D^kf(0) =f(n)=soma[k=0 até n] de (-1)^k.c(n,k).
f(n)=soma[k=0 até n] de (-1)^k.c(n,k).

sobre a soma da outra maneira, eu fiz o seguinte, acho que
simplifiquei um pouco a expressão do somatorio

é possivel mostrar que
soma[k=0 até n]f(k)=soma[k=0 até n]f(n-k), para qualquer função somada
usando isso no somatorio pedido, podemos concluir que ele é
equivalente ao somatório
soma[k=0 até n] (-1)^(n-k). c(k+1,n-k).c(2k,k)/(k+1)
que talvez possa ajudar algo na resolução

Rodrigo

Em 14/10/07, Luís Lopes<qed_texte@hotmail.com> escreveu:
> Sauda¸c~oes,
>
> Oi Rodrigo,
>
> > coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender
> Isso mesmo. Gostei de ver a imagem. Legal.
>
> > eu queria saber o que é o \delta_{n,0}
> \delta_{n,0}=1 para n=0 e 0 para n\not= 0.
> Dando valores para n na identidade você
> entende melhor.
>
> > será que não da para provar usando alguma propriedade
> > de potência fatorial (factorial power)?
> Pode ser que sim (teoria das séries hipergeométricas).
> Antes recomendo a leitura do livro A=B de Zeilberger e
> outros.
>
> []'s
> Luis
>
> > Date: Sat, 13 Oct 2007 23:13:56 -0300
> > From: rodrigo.uff.math@gmail.com
> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
> > Subject: Re: [obm-l] Sequência e Indução (Urgente!!!)
> >
> > vê se é esse o problema
> >
> http://s178.photobucket.com/albums/w268/rodrigo_renji/?action=view&current=lista.jpg
> >
> > coloquei em imagem para ficar mais fácil de entender, eu queria saber o
> que é o
> > \delta_{n,0} , será que não da para provar usando alguma propriedade
> > de potência fatorial (factorial power)?
> >
> > Rodrigo
> > Em 13/10/07, Luís Lopes<qed_texte@hotmail.com> escreveu:
> > > Sauda¸c~oes,
> > >
> > > Na revista Mathematics Magazine June 2007 p. 225
> > > deparei-me com a identidade
> > >
> > > \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
> > > \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} =
> > > = \delta_{n,0} .
> > >
> > > Ela aparece como corolàrio de uma longa exposiç~ao.
> > >
> > > Tentando provà-la, seja
> > >
> > > S_n := \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n-k+1}{k}
> > > \frac{1}{n-k+1}\binom{2n-2k}{n-k} .
> > >
> > > Uma das idéias é fazer S_n = [x^n] F(x) (coeficiente de x^n em F(x)),
> > > onde F(x) é dada por
> > >
> > > F(x) = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k
> > > (1-x)^{k+1}
> > >
> > >
> > > Fazendo k=0,1,2,3,4 vem:
> > >
> > > S_n = [x^n] {1 -14x^4 + 28x^5 - 20x^6 + 5x^7 + 14x^4(1-x)^5 +
> > > \sum_{k\geq 5} \frac{1}{k+1}\binom{2k}{k} x^k (1-x)^{k+1}
> > > }
> > >
> > > Assim, S_0=1 e S_1=S_2=S_3=S_4=0.
> > >
> > > Falta provar que [x^n] F(x) = 0 para n\geq 5.
> > > Dà pra fazer isso?
> > >
> > > []'s,
> > > Luis
>
>
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