Oi, Palmerim,
Pois é, o Ponce diz que solução trigonométrica é feia só para implicar comigo. Mas então eu vou implicar com ele, também, dando a solução geométrica.
A inspiração da solução está no mesmo contexto que dois problemas clássicos que habitam esta lista com alguma regularidade:
1) Triângulo Isósceles de 20/80/80 onde A = 20; traçam-se por B e C cevianas fazendo 50 e 60 graus com a base BC, de tal forma que D está em AC, E em AB, BCE = 50, DBC = 60 e se deseja o angulo EDB;
2) Triângulo Isósceles de 40/40/100, onde A = 100. marca-se D no prolongamento de AB de tal forma que AD = BC. Pergunta-se o angulo BCD.
O problema que você propôs e mais estes dois estão relacionados com a geometria do polÃgonos regulares eneágono (9 lados) e octadecágono (18 lados) e suas diagonais.
Veja a tese de mestrado da Silvana (já mencionada nesta lista pelo Nicolau) cujo capÃtuko 2 é inteiramente dedicado aos dois problemas clássicos acima (1 e 2), mas não se intimide, pois este capÃtulo é simples.
Copie este link e baixe o pdf:
http://www.google.com.br/url?sa=t&ct=res&cd=2&url=http%3A%2F%2Fwww.mat.puc-rio.br%2F~hjbortol%2Fcomplexidade%2Fcomplexidade-em-geometria.pdf&ei=mfPnRoDCGZyMevvb5dcG&usg=AFQjCNG8D4jKXKF_v_qKbopL9H4-74cE6Q&sig2=6o2sWVI6_6h-4iAotETV2g
Bem, agora vamos à solução do problema que você propôs:
Lema (que está demonstrado no texto mencionado):
Um octadecágono regular possui 4 diagonais (diferentes de 'diâmetros') que passam por um mesmo ponto em um diâmetro do seu cÃrculo circunscrito.
Ai, a partir de sua figura (no link que você enviou) basta observar que:
a) B é o centro do octadecágono e BC o raio;
b) ED e AD são as diagonais mencionadas no lema e D seu ponto de interseção no diâmetro cujo reta suporte é BC;
Dai, é trivial que o ângulo desejado vale 30 graus por ser um ângulo inscrito que subentende um ângulo central de 60 graus.
Abraços,
Nehab
PS: Aproveitando a citação da Silvana, dê uma olhada em um outro lindo problema clássico chamado de Teorema de Napoleão (o próprio) ... que ela desenvolve de uma forma muito elegante e interessante. Para os interessados neste problema, especialmente, veja o link http://www.cut-the-knot.org/proofs/napoleon_intro.shtml do maravilho site www.cut-the-knot.com. Nenhum amante da geometria pode desconhecer este site...
At 10:20 12/9/2007, you wrote:
Maravilha!!!> escreveu:
Obrigado Rogerio, ja era previsivel mesmo uma solucao sua. E nao eh feia, mas linda. Se algum outro colega da lista conseguir a solucao "puramente geometrica", agradeço.
Abracos,
Palmerim
Em 12/09/07, Rogerio Ponce < rogerioponce-obm@yahoo.com.br
- Assim,
- EF=cos10
- FB=sin10
- DC= sin20 / sin100
- finalmente podemos escrever:
- []'s
- Rogerio Ponce
- Ola pessoal
- Esta aqui eh para os grandes mestres Nehab, Ponce e outros geometras da lista. Poderiam dar uma solucao "puramente geometrica" (a moda agora e essa...). Mas gostaria tambem de ver a solucao trigonometrica, se possivel. Figura no link abaixo:
- http://imageshock.eu/img/Triangulo.jpg
- Obrigado,
- Palmerim
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