Re: [obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional

Em 06/08/07, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br> escreveu:

A minha ideia foi exatamente esta. E eh demonstracao sim, matematicamente perfeita.
Na bse k, a expansão de 1/p(n) eh composta por varios zeros e 1. Para n grande p(n+1) - p(n) eh estritamente crescente, alem de crescer arbitraiamente. Assim, na base k, o limite nao  pode ter expansao finita ou infinita periodica, sendo assim irracional.

O Ronaldo também deu uma prova interessante
Artur

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto: owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Demetrio Freitas
Enviada em: segunda-feira, 6 de agosto de 2007 14:08
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional

Oi Artur,

Isso não é exatamente uma demonstração, mas é o que me
ocorre no momento:

1-      Primeiramente vamos levar em consideração uma
propriedade dos números racionais, que diz que a sua
representação decimal (ou em qualquer base) é finita
ou periódica.
2-      Agora vamos observar X=Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)]
expresso na base k. Claramente esta expansão k-zimal
de X é não-finita e não-periódica, portanto não pode
ser racional.

Você teve outra idéia?

[]´s Demétrio

--- Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>
escreveu:

> Acho este problema bem interessante. Acho que já
> circulou um parecido por aqui, hah bastante tempo.
> Gostrai de ver quias as provas que os colegas
> apresenta. Depois dou a que me ocorreu, se ninguém a
> apresentar.
>
>
>
> Seja k >= 2 um inteiro e seja p um polinômio de grau
> >= 2, com coeficientes inteiros, tal que o
> coeficiente do termo líder é positivo. Mostre que a
> série Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um
> número irracional.
>
> Mostrar que a serie converge eh muito simples. O
> interessante eh mostrar que o limite eh irracional.
>
> Abracos
> Artur
>
>
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