Re: [obm-l] Mostrar que esta serie converge para um irracional

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Não acho que seja tão difícil ver que a séries com números arbitrariamente
grandes no denominador convergem para irracionais.

A idéia que segue se aplica a qualquer série convergente com a seguinte
propriedade: Se no denominador teremos termos arbitrariamente grandes, com
fatores primos arbitrariamente grandes então a fração resultante da soma até N_0, não
conseguirá se "estabilizar" pois existirá um N>N_0 com um primo no denominador
maior do que o maior primo no denominador existente para N_0.
    Sendo matemáticamente mais preciso, seja S_0 o maior número
primo no denominador para soma até N_0.  Então haverá N>N_0 para o qual
existirá S>S_0.

     O caso em questão é um pouco mais complexo porque k é um inteiro, o que significa que
o número de fatores primos é constante.

 Soma (n= 1, N ) 1/[k^(p(n)]

   Agora vamos observar o seguinte a respeito de p(n), que parece ser apenas um "complicador" para o
problema.  Temos a hipótese do termo líder ser positivo.   Isso é só para garantir a convergência.  Note
também que o grau é maior que 2.  Como n > 1 e p(n) é avaliado para números inteiros, é claro que
a série vai convergir porque 1/[k^p(n)] > 1/[k^2] para k>2  (desprezando o primeiro termo).

   Para ver que o número é irracional consideramos o último termo da soma.   Ele será da forma:

 1/  (p_1)^a (p_2)^b ... (p_t)^z     onde p_1,p_2,p_3 ... são primos da decomposição de k.  Supomos
então que exista uma fração R/S  que seja a soma da série.  Note que as potências a, b,..., z  aumentam
conforme aumentamos n.     S, o denominador então deverá ter a maior de todas as potências de cada
um dos fatores.   Ora isso não é possível pois para n+1 obteremos valores maiores para alguma das
potências a,b,...,z.   Donde concluímos que o resultado deve ser irracional.

Essa é uma prova *qualitativa*  precisa de mais rigor, eu reconheço.

Ronaldo Luiz Alonso



Artur Costa Steiner wrote:

> Acho este problema bem interessante. Acho que já circulou um parecido por aqui, hah bastante tempo. Gostrai de ver quias as provas que os colegas apresenta. Depois dou a que me ocorreu, se ninguém a apresentar.
>
> Seja k >= 2 um inteiro e seja p um polinômio de grau >= 2, com coeficientes inteiros, tal que o coeficiente do termo líder é positivo. Mostre que a série Soma (n= 1, oo) 1/[k^(p(n)] converge para um número irracional.
>
> Mostrar que a serie converge eh muito simples. O interessante eh mostrar que o limite eh irracional.
>
> Abracos
> Artur
>
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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