Oi, Artur. Este é bonitinho, porém bem mais simples que o anterior.
Gostei desses problemas de funções compostas. Vamos à solução.
Suponha que exista a função f conforme definida no enunciado. Seja, por
comodidade de notação, g = f o f.
Note inicialmente que 0 é ponto fixo de g. No mais, é o único (por quê?).
Assim sendo, 0 é o único possível ponto fixo de f (já que todo ponto fixo de f
também o será de g). Vamos mostrar que realmente é ponto fixo de f.
Suponha que 0 não seja ponto fixo de f, isto é, suponha que f(0) = a,
onde a != 0. Aplicando f dos dois lados, temos que f(f(0)) = f(a), isto é, 0 =
f(a). Aplique novamente f dos dois lados, e obtemos f(0) = f(f(a)), isto é, a
= g(a), e portanto este a, diferente de 0, é ponto fixo de g. Mas o único
ponto fixo de g era o 0, logo é errado admitir que 0 não é ponto fixo de f.
Vamos agora usar a propriedade de que f é diferenciável. Pela Regra da
Cadeia, g é diferenciável e g'(x) = (f o f)'(x) = f'(f(x)) * f'(x). Temos que
g'(0) = -1 = f'(f(0)) * f'(0) = f'(0) * f'(0).
Assim, admitir a existência de f implica existir um real cujo quadrado é
-1. Absurdo! Logo, não existe tal função f!
Abraço
Bruno
2007/8/2, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>:
Este eu tambem acho
interessante. Eh mais facil do que o outro que jah foi brilhantemente
resolvido pelo Bruno.
Mostre que não existe
nenhuma f:R-->R, diferenciavel em R, tal que f o f seja dada por
f(f(x)) = e^(-x) - 1.
Sugestao. Pense em pontos
fixos
Se relaxarmos a condicao de
difreneciabilidade, aih nao sei dizer
Artur
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Bruno França dos Reis
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12626000
e^(pi*i)+1=0