Re: [obm-l] Outra de funcao composta

["Bruno Fran�a dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Oi, Artur. Este � bonitinho, por�m bem mais simples que o anterior. Gostei desses problemas de fun��es compostas. Vamos � solu��o.

 

 

Suponha que exista a fun��o f conforme definida no enunciado. Seja, por comodidade de nota��o, g = f o f.

 

Note inicialmente que 0 � ponto fixo de g. No mais, � o �nico (por qu�?). Assim sendo, 0 � o �nico poss�vel ponto fixo de f (j� que todo ponto fixo de f tamb�m o ser� de g). Vamos mostrar que realmente � ponto fixo de f.

 

Suponha que 0 n�o seja ponto fixo de f, isto �, suponha que f(0) = a, onde a != 0. Aplicando f dos dois lados, temos que f(f(0)) = f(a), isto �, 0 = f(a). Aplique novamente f dos dois lados, e obtemos f(0) = f(f(a)), isto �, a = g(a), e portanto este a, diferente de 0, � ponto fixo de g. Mas o �nico ponto fixo de g era o 0, logo � errado admitir que 0 n�o � ponto fixo de f.

 

Vamos agora usar a propriedade de que f � diferenci�vel. Pela Regra da Cadeia, g � diferenci�vel e g'(x) = (f o f)'(x) = f'(f(x)) * f'(x). Temos que g'(0) = -1 = f'(f(0)) * f'(0) = f'(0) * f'(0).

 

Assim, admitir a exist�ncia de f implica existir um real cujo quadrado � -1. Absurdo! Logo, n�o existe tal fun��o f!

 

 

 

Abra�o

Bruno

 

2007/8/2, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>:

 Este eu tambem acho interessante. Eh mais facil do que o outro que jah foi brilhantemente resolvido pelo Bruno.

 

Mostre que n�o existe nenhuma f:R-->R, diferenciavel em R, tal que f o f seja dada por f(f(x)) = e^(-x) - 1.

Sugestao. Pense em pontos fixos

 

Se relaxarmos a condicao de difreneciabilidade, aih nao sei dizer

 

Artur 

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Bruno Fran�a dos Reis
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e^(pi*i)+1=0