Re: [obm-l] Outra de funcao composta

["Bruno França dos Reis" <bfreis@xxxxxxxxx>]

Oi, Artur. Este é bonitinho, porém bem mais simples que o anterior. Gostei desses problemas de funções compostas. Vamos à solução.

 

 

Suponha que exista a função f conforme definida no enunciado. Seja, por comodidade de notação, g = f o f.

 

Note inicialmente que 0 é ponto fixo de g. No mais, é o único (por quê?). Assim sendo, 0 é o único possível ponto fixo de f (já que todo ponto fixo de f também o será de g). Vamos mostrar que realmente é ponto fixo de f.

 

Suponha que 0 não seja ponto fixo de f, isto é, suponha que f(0) = a, onde a != 0. Aplicando f dos dois lados, temos que f(f(0)) = f(a), isto é, 0 = f(a). Aplique novamente f dos dois lados, e obtemos f(0) = f(f(a)), isto é, a = g(a), e portanto este a, diferente de 0, é ponto fixo de g. Mas o único ponto fixo de g era o 0, logo é errado admitir que 0 não é ponto fixo de f.

 

Vamos agora usar a propriedade de que f é diferenciável. Pela Regra da Cadeia, g é diferenciável e g'(x) = (f o f)'(x) = f'(f(x)) * f'(x). Temos que g'(0) = -1 = f'(f(0)) * f'(0) = f'(0) * f'(0).

 

Assim, admitir a existência de f implica existir um real cujo quadrado é -1. Absurdo! Logo, não existe tal função f!

 

 

 

Abraço

Bruno

 

2007/8/2, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>:

 Este eu tambem acho interessante. Eh mais facil do que o outro que jah foi brilhantemente resolvido pelo Bruno.

 

Mostre que não existe nenhuma f:R-->R, diferenciavel em R, tal que f o f seja dada por f(f(x)) = e^(-x) - 1.

Sugestao. Pense em pontos fixos

 

Se relaxarmos a condicao de difreneciabilidade, aih nao sei dizer

 

Artur 

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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0