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Re: [obm-l] f(f(x)) = x^2 - 1996

Gostei do problema, Artur. Não sei se está totalmente correta minha solução, mas achei bonitinha (me inspirei no que vc disse sobre um ponto que oscila). Dê uma olhada se tiver tempo.
 
 
Suponha que exista f conforme o enunciado diz e seja g = f o f. Vamos procurar por dois reais distintos, a e b, tais que g(a) = b e g(b) = a (se a = b, estaríamos procurando um ponto fixo de g, o que não é de interesse). A busca por tais números nos leva ao sistema:
 
a^2 - 1996 = b
b^2 - 1996 = a
 
Subtraia e obtenha (a+b)(a-b) = (b-a), donde a = - b - 1. Agora substituindo, obtenha duas raízes reais (por bháskara, ou seja lá como for), a1 e a2 (cujos valores não tem o menor interesse, apenas note que é claramente diferente de 1/2). Como nosso sistema é absolutamente simétrico, não importa tomarmos a = a1 e b = a2 ou o contrário. O que importa é que provamos: existindo f, existe um único par (a, b) de pontos distintos, com a propriedade de que g leva a em b e b em a.
 
Considere agora c = f(a), d = f(b). Aplicando f aos dois lados de cada igualdade, obtemos: b = f(c), a = f(d). Aplique denovo f aos dois lado: f(b) = g(c), f(a) = g(d). Mas volte à definição de c e d, e veja que d = g(c), c = g(d). Assim o par (c, d) tem a mesma propriedade que o par (a, b). Mas vimos antes que o par (a, b) com tal propriedade era único. Assim temos ou a = c, b = d ou a = d, b = c.
 
No caso a = c, b = d, temos: a = f(d) = f(b) = g(c) = g(a) = b.
No outro caso, chegamos à mesma conclusão: a = f(d) = f(a) = g(d) = c = b.
 
Assim vemos que admitir a existência de f, implica admitir a existência de dois reais distintos que são iguais (???). Absurdo. Logo é errado admitir a existência de f, o que conclui a demonstração.
 
Abraço
Bruno


 
2007/8/1, Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>:
Boa tarde
 
Há alguns anos circulou aqui o seguinte problema, aliás nada fácil:
 
Mostre que não existe nenhuma função f:R --> R tal que sua composta f o f seja dada por f(f(x)) = x^2 - 1996. Algúem sabe onde está a sua solução ou sabe resolvê-lo. Eu acho que a solucoa tem a ver com um tipo de ponto , que nao eh ponto fixo, mas apresenta uma propriedade de oscilar , nao me lembro nao.
 
Obrigado
Artur



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Bruno França dos Reis
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e^(pi*i)+1=0