Re: [obm-l] Provar que k + raiz(k^2 +a ) eh irracional

[Demetrio Freitas <demetrio_freitas_2002_10@xxxxxxxxxxxx>]

Por hipótese: a racional, k irracional

Suponha b = k + raiz(k^2 + a) racional. Então:

b -k = sqrt(k^2 + a)
(b - k)^2 = (sqrt(k^2 +a))^2  
b^2 -2*b*k +k^2 = k^2 +a
b^2 -2*b*k = a
b*(b-2*k) = a
a/b = b -2*k

Se b racional, implica a/b racional. 
Porém, k é irracional por hipotese e portanto b -2*k é
irracional para b racional => Contradição

[]´s Demetrio

--- Artur Costa Steiner <artur.steiner@mme.gov.br>
escreveu:

> Este problema parece complicado, mas tendo-se um
> "clique" apresenta uma solucao simples, Achei 
> interessante.
>  
> Seja a um numero racional. Mostre que, se k for
> irracional e k^2 + a >=0, então k + raiz(k^2 + a) eh
> irracional.
>  
> Artur
> 



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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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