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RES: [obm-l] Descontinuidade
Suponhamos que
x>0 seja irracional. Seja eps >0 arbitrario e seja I um subintervalo
aberto e finito de (0, oo) centrado em x. Se y for irracional
entao |f(y) - f(x)| = | 0 - 0| = 0 < eps. Se y for racional e y
estiver em I, entao podemos encontrar inteiros positivos m e n, primos
entre si, tais que y = m/n estah em I. Em todo subintervalo
limitado J de (0, oo), o numero de racionais com um dado denominador n eh
finito. De fato, fazendo-se m crescer com n fixo, m/n -> oo e sai de J.
Repetindo-se este raciocinio para n =1,2,....k em I, concluimos que, em I, hah
um numero finito de racionais com denominador n <= k. Escolhamos k > 1/eps
e sejam r_1, ....r_p os racionais de I com n <=k. Facamos d =
minimo{|r_1 - x|,....|r_p - x|}. Entao, todo racional de (x -d , x +d) apresenta
n > k => 1/n < 1/k < eps => |f(y) - f(x)| = |1/n - 0| = 1/n
< eps.
Para todo y de (x -d, x +d) temos, portanto, que |f(y) -
f(x)| < eps, de modo que f eh continua em x.
Suponhamos agora que
x seja racional. Entao, f(x) = 1/n >0, pois x >0 e n >0. Como em
toda vizinhanca de x hah irracionais y com f(y) = 0, temos que f eh descontinua
em x.
Abracos
Artur
Seja f: ( 0, infinito )-> R ( reais )
f(x) = 1/n se x=m/n , m,n E N ( naturais ) e o
mdc ( m,n) = 1
0 se x E R\Q
Mostrar que f é contínua quando x é irracional e
descontínua caso x E Q.
eu pensei nisso :
(i) a E R\Q => f(0)=0
seja a_n -> 0, então
| f(a_n) - f(a) | = | f(a_n) = 0 < epson
|f(a_n)| = 1/n < epson ( não estou conseguindo
analisar a sentença com os numeros primos entre si, e provar que é verdadeira
, parei por aqui , podem me dar uma ajuda para a solução do problema
acima mensinonado ?? ?? )
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Kleber B. Bastos