Re: [obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

[ralonso <ralonso@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

     Pela consistência (não demonstrável) da matemática é difícil definir
o que devemos tomar como base para boas definições. No livro de
Malba Tahan, "as maravilhas da matemática"  há um
capítulo inteiramente dedicado ao "problema das definições em
matemática".

    Você pode definir pi como a razão
entre a circunferência e o diâmetro ou
como uma integral de comprimento de arco.  O seno pode ser
definido como a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, ou
como uma série de potências.

  Não importa quais das duas adotamos: no caso real, os resultados
são os mesmos. Historicamente, no entanto, as definições mais simples
surgiram primeiro: Os números reais surgiram antes dos complexos,
e o teorema de pitágoras antes do cálculo ...

  PS: No livro Geometria Diferencial de Manfredo Perdigão do Carmo em
uma discussão sobre arcos geodésicos há um comentário sobre a possibilidade
de demonstrar o quinto postualdo de Euclides a partir dos outros, assumindo
que o arco geodésico é um segmento de reta..

    Quando conversei com
o professor sobre essa possibilidade
ele me disse que era complicado seguir esse caminho,
porque havia muita coisa já explorada para saber exatamente
o que era postulado e o que era teorema.  Partindo assim dos teoremas
como axiomas poderíamos chegar nos axiomas como teoremas...  Posso
ter entendido isso errado, mas achei interessante
essa discussão...

Ronaldo.

Artur Costa Steiner wrote:

> Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumen>
> Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que, embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo trigonometrico ou por "cateto oposto sobre hipotenusa", como aprendi no antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desi>
> Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos complexos? As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos reais, certo? No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em pelo menos 1 elemento de R?
>
> Obrigado
> Artur
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de Nicolau C. Saldanha
> Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 10:33
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite
>
> On Thu, Jun 28, 2007 at 12:35:11PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> > Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x +
> > x^2/2! + x^3/3!......Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes
> > dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio
> > e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae em
> > 0, lim (x -> 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0 .... =1.
>
> É um pouco estranho discordar de uma definição, mas eu discordo que esta
> (a definição via séries de potências) seja a melhor definição de exponencial.
> A minha favorita é que e^x = f(x) onde f é a única solução de
> f'(x) = f(x), f(0) = 1 (chamemos esta de definição via EDOs).
> Outra definição popular é definir exp como a inversa de log (ou ln)
> e definir log como a integral de 1/x, i.e., $\log(x) = \int_0^x (1/t) dt$
> (definição via integral). A mais elementar é dizer que para todo a > 1
> existe uma única função crescente f: R -> R satisfazendo
> f(0) = 1, f(1) = a, f(x1+x2) = f(x1)*f(x2); chamemos f(x) de a^x
> (definição elementar).
>
> Existem outras. Pelas três primeiras definições a continuidade é trivial,
> pela definição elementar nem tanto. Por outro lado, o Kleber (que mandou
> a pergunta para a lista) não esclareceu com qual definição de exponencial
> ele está trabalhando. Sem responder isso o problema fica sem sentido.
>
> []s, N.
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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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