[obm-l] Pontos de condensacao

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Serah que existe uma forma simples de provar o seguinte?

Sendo A um subconjunto de R, dizemos que x eh ponto de condensacao de A se toda vizinhanca de x intersectar A segundo um conjunto nao enumeravel. Por exemplo, todo elemento de (0, 1), alem de 0 e de 1, sao pontos de condensacao de (0, 1). Sabemos que se A nao for enumeravel, entao o conjunto C, dos pontos de condensacao de A, eh fechado e nao-enumeravel. 

Dizemos que y eh ponto de condensacao bilateral de A se, para todo eps >0, os conjuntos (x -eps, x) Inter A e (x, x+ eps) Inter A forem ambos nao-enumeraveis. Isto eh, os pontos de A se condensam aa esquerda e aa direita de y. Assim, 0 e 1 sao pontos de condensacao de (0, 1) mas nao sao bilaterais. E dizemos que z eh ponto de condensacao unilateral de A - como o sao 0 e 1 no exemplo dado -  se os pontos de A se condensarem ou aa esquerda ou aa direita de z, mas nao a ambas. Por estas definicoes, pontos de condensacao bilaterais nao sao unilaterais.

Seja A um subconjunto nao-enumeravel de R e sejam B e U os conjuntos dos pontos de condensacao bilaterais e unilaterais de A (pelas definicoes, B e U formam uma particao de C). Mostre que B eh nao-numeravel e que U eh enumeravel (possivelmente vazio ou finito).

O conjunto B tem que ser aberto? Eh possivel que U seja vazio para algum nao-enumeravel proprio de R?

Abracos
Artur

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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