[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Eu acredito que um bom motivo para se definir a funcao exponencial via series de potencias eh que esta definicao vale tambem no corpo dos complexos. Talvez este tambem seja este o motivo pelo qual, frequentemente, definem-se as chamadas funcoes trigonometricas por series de potencias. No livro de Analise Complexa do Ahlfors, o qual jah tive a oportunidade de estudar alguns capitulos, as definicoes sao por series de potencias. Segundo Ahlfors, pelo menos ao que me pareceu, o conceito rigoroso do argumento de um complexo, em representacao polar, nao deve ser considerado como angulo. 

Uma vez conversei com um matematico de real conhecimento e ele me disse que, embora poucos se deem conta, definir a funcao seno (ou cosseno) pelo circulo trigonometrico ou por "cateto oposto sobre hipotenusa", como aprendi no antigo científico dos anos 60, eh muito mais complicado do que parece, porque a definicao formal de comprimento nao eh assim tao simples, exigindo, na realidade, uma integral. As provas de continuidade e de derivabilidade das funcoes ditas trigometricas basiam-se na conhecida desigualdade |sen(x| <= |x|, com igualdade se e somente se x=0, e esta eh usualmente provada com base no famos postulado da geometria Euclidiana segundo o qual a menor distancia entre 2 pontos eh o segmento de reta que os une. 

Nao estou certo, a definicao da exponencial via EDO pode ser extendida aos complexos? As definicoes via inverso de log e elementar restrigem-se aos reais, certo? No caso da definicao elementar, nao é necessario, para que a funcao fique bem definida, acrescentar a hipotese de que seja continua em pelo menos 1 elemento de R?

Obrigado
Artur 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de Nicolau C. Saldanha
Enviada em: sexta-feira, 29 de junho de 2007 10:33
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite


On Thu, Jun 28, 2007 at 12:35:11PM -0300, Artur Costa Steiner wrote:
> Isso é decorrencia imediata da definicao da funcao exponencial: e^x = 1 + x +
> x^2/2! + x^3/3!......Eh uma serie de potencias. Conforme se sabe, funcoes
> dadas por series de potencia, ditas analiticas, sao continuas em seu dominio
> e apresentam derivadas de todas as ordens. Logo, em virtude da continuidae em
> 0, lim (x -> 0) e^x = e^0 = 1 + 0 + 0 .... =1.

É um pouco estranho discordar de uma definição, mas eu discordo que esta
(a definição via séries de potências) seja a melhor definição de exponencial.
A minha favorita é que e^x = f(x) onde f é a única solução de
f'(x) = f(x), f(0) = 1 (chamemos esta de definição via EDOs).
Outra definição popular é definir exp como a inversa de log (ou ln)
e definir log como a integral de 1/x, i.e., $\log(x) = \int_0^x (1/t) dt$
(definição via integral). A mais elementar é dizer que para todo a > 1
existe uma única função crescente f: R -> R satisfazendo
f(0) = 1, f(1) = a, f(x1+x2) = f(x1)*f(x2); chamemos f(x) de a^x
(definição elementar).

Existem outras. Pelas três primeiras definições a continuidade é trivial,
pela definição elementar nem tanto. Por outro lado, o Kleber (que mandou
a pergunta para a lista) não esclareceu com qual definição de exponencial
ele está trabalhando. Sem responder isso o problema fica sem sentido.

[]s, N.
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================

=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================