[obm-l] RES: [obm-l] dúvida sobre Limite

["Artur Costa Steiner" <artur.steiner@xxxxxxxxxx>]

Aqui hah um ponto que devemos observar. Se consideramos as funcoes seno e cosseno definidas por series de potencias, a continuidae e diferenciabilidades de todas as ordens sao consequencias imediatas da definicao. Se consideramos a definicao baseada no circulo trigonometrico, a continuiddae, assim como a diferenciabilidade soa consequencias fundamentais da desigualdade |sen(u)| <= |u| com igualdade se, e somente se, u =0, bem como de identidas trigonometricas, como sen(x) - sen(y) = 2 sen((x - y)/2) cos((x + y)/2) .  Aquela prova que eu dei eh mas geral, mostra que sen e cos sao Lipschitz

Artur 

-----Mensagem original-----
De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
nome de ralonso
Enviada em: quinta-feira, 28 de junho de 2007 13:56
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] dúvida sobre Limite


Olá Sallab, sua solução é simples e elegante e
pode ser usada para outras demonstrações
do mesmo gênero, que podem aparecer em
provas.  Só comentando:

> outro modo seria:
> -delta < x < delta.... e^(-delta) < e^x < e^(delta)

   Isso é válido porque e^x é monótona crescente para todo x,
isto é, se x_1 > x_2  então e^(x_1) > e^(x_2).  Verificamos isso por inspeção,
porque e>1.  A rigor, analiticamente,
não sei se existe um modo de demonstrar isso sem
uso de derivadas.  Existe?


> assim, se eps = max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1}, temos que: |e^x - 1| < eps
>

  Note que esta passagem também é valida porque quando fazemos
max{e^(delta)-1 ; e^(-delta)-1} pegamos sempre números positivos.
Isso ocorre porque existe delta tal que e^delta > 1 sempre.
Em demonstrações de limites mais complicados às vezes não  é
tão simples fazer essa passagem porque essa garantia (positividade
de eps a partir da função) não é tão fácil de obter.


> logo: para todo eps > 0, existe um delta>0, tal que |x| < delta
> implica que |e^x - 1| < eps
>

abraços
Ronaldo.


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> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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