Re: [obm-l] Função de Dirichlet e x^x

["Igor Battazza" <battazza@xxxxxxxxx>]

Em 22/05/07, Bruno França dos Reis<bfreis@gmail.com> escreveu:
> Oi.
>
> Quando vc diz que quer saber se a área da função de Dirichlet é calculável,
> vc por acaso pergunta se a função D é integrável?
> Se é isso, vamos com calma. Relembre a definição da integral de Riemann:
> lim(|P| --> 0) sum f(x'_i)*delta(x_i), onde P é uma partição do intervalo no
> qual vc quer integrar a função (P = {a = x0 < x1 < ... < xn = b}) e x'_i é
> um valor entre x_(i-1) e x_i e delta(x_i) = x_i - x_(i-1) é o comprimento de
> cada intervalo.
> Se existe o limite independentemente da escolha dos pontos x'_i, dizemos que
> a função f é integravel em (a,b) e sua integral de Riemann vale esse limite.
>
> Vamos verificar que para qualquer intervalo (a,b), não existe esse limite
> (isto é: ele depende dos x'_i).
> É muito simples. Sabemos que dados x,y reais, x<y, existe pelo menos um
> racional e um irracional entre eles.
> Faça o limite tomando os x'_i todos racionais. Dá 0. Agora faça o limite
> tomando todos os x'_i irracionais, e vc tem o resultado b-a para o limite da
> soma. Logo o limite depende dos x'_i, e portanto dizemos que f não é
> Riemann-integrável.
>
> POR OUTRO LADO, seria interessante se pudessemos integrar essa função.
>
> Usando a Integral de Lebesgue, por exemplo, ela é integrável. A definição da
> integral de Lebesgue para funções simples é a seguinte:
> (função simples é aquela que o conjunto imagem tem um número finito de
> pontos... que é o caso de D(x): ela possui apenas o 0 e o 1 na imagem)
> Sejam a_i os pontos distintos da imagem de f. Seja A_i = {x | f(x) = a_i},
> isto é, A_i é a pré-imagem de a_i (A_i = f^-1(a_i). A integral de lebesgue
> de f no conjunto E é:
> soma medida(A_i inter E)*a_i
> Onde medida(C) é uma função que associa, a cada conjunto C de pontos do
> dominio, um tamanho. Há 3 regras que essa associação de conjuntos a tamanhos
> precisa seguir para que possa se chamar "medida". E há diversas medidas
> diferentes possíveis.
> Uma delas é a medida de Lebesgue. A definição dela é complicada pra eu botar
> aqui. Mas intuitivamente ela é o "comprimento do intervalo" (para
> intervalos, medida([a,b]) = b-a). Acontece que MUUUUUUUUUUUUUUITOS conjuntos
> são mensuráveis. O conjunto só dos racionais, por exemplo, é mensurável.
> Pela medida de Lebesgue, qq conjunto Enumerável tem medida 0. (e como Q é
> mensurável, tem medida 0... se vc nao tem esses conceitos, procure em qq
> livro de análise)
>
> Resumo da ópera: D(x) é Lebesgue-integrável pois cada A_i é mensurável e a
> integral vale:
> medida(Q)*1 + medida(R-Q)*0 = 0
> Pois, como já enunciei, medida(Q) = 0 (e embora medida(R-Q) = +oo, usa-se a
> convenção de que 0 * oo = 0 nesta teoria). Assim a "área sobre a função de
> Dirichlet" não existe do ponto de vista de Riemann, e vale 0 do pto de vista
> de Lebesgue.
>
>

Exatamente, eu queria saber se D(x) era integravel com Lebesgue por
ser uma função não-continua. Adorei a explicação, muito didatica, eu
nao tenho conhecimentos em Análise por isso sabia da integral de
Lebesgue mas nao como aplica-la!

>
> Quanto à função x^x:
> concorda que ela é contínua? Um teorema diz que toda função contínua num
> intervalo fechado é riemann-integrável (qq livro de cálculo tem isso).
> Assim, f é Riemann-integrável.
> E será lebesgue-integrável?
> Outro teorema diz que toda função Riemann-integrável é lebesgue-integrável,
> e as duas integrais tem o mesmo valor! (note que não falo de integrais
> impróprias!)
> Assim x^x é integrável.
> O que vc quer dizer com "como é o processo"? Vc quer saber que regrinha
> aplicamos pra achar uma primitiva de x^x? Olha, nao sei... e sinceramente
> acho que não dá pra expressar a primitiva de x^x em termos de funções
> elementares. Eu tentaria expandir isso aí numa série e ver no que dava.
> (obs: minha HP não sabe calcular a primitiva disso... mas às vezes ela nao
> calcula umas bobas).
>

Pois é, o meu Maxima e Maple também não oferecem uma primitiva,
olhando pra ela podemos ver que é continua, mas plotando uma função do
tipo 0^x no gnuplot eu tenho uma leve impressão que a curva nao toca
em x = 0, segundo a demonstração desse link:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/calculo/zerozero/zero.htm
o modo que ele desenvolve 0^0 se torna indeterminavel. Mas acho que se
expandir em uma série chego a alguma coisa. De qualquer forma
obrigado!

> Até!
> Bruno
> ps: consulte livros de cálculo e análise... todos os teoremas e definições
> que listei aqui tem em qq livro de cálculo (a parte de Riemann) e em qq
> livro de análise (a parte de Lebesgue). Há algum tempo circulou na lista
> diversas sugestões de livros para estudo de Integral de Lebesgue; vale a
> pena vc procurar nos arquivos da lista!
>
>

Até! Pois é, preciso aprofundar meus conhecimentos :) mas tudo a seu
tempo, primeiro preciso passar no vestibular, as outras matérias do
tipo biologia, história e geografia me tomam um tempo longo :(
Mais uma vez agradeço pela didatica e ajuda :)

> Em 21/05/07, Igor Battazza <battazza@gmail.com> escreveu:
> >
> > Gostaria de saber se a área da função de Dirichlet definida por:
> >          { x = 1, se x é racional
> > D(x) = {
> >          { x = 0, se x é irracional
> >
> > Que equivale a D(x) = lim[lim(cos^2n(m!*%pi*x), n->%inf), m->%inf] é
> calculavel;
> >
> > E se a função f(x) = x^x é integravel e como é o processo.
> >
> > Desde já agradeço,
> > Igor F. Carboni Battazza.
> >
> >
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> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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> Bruno França dos Reis
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> e^(pi*i)+1=0

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